Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77174 / 58930
↖ ↑ ↗
← N 17.848062°
E 31.964722°		 ← 290.67 m → N 17.848062°
E 31.967468°		 →
↑
290.71 m
↓
↑
290.71 m
↓
N 17.845447°
E 31.964722°		 ← 290.67 m →
84 500 m²		 N 17.845447°
E 31.967468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588794708251953 y=0.449604034423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588794708251953 × 217)
    floor (0.588794708251953 × 131072)
    floor (77174.5)     		tx = 77174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449604034423828 × 217)
    floor (0.449604034423828 × 131072)
    floor (58930.5)     		ty = 58930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77174 / 58930 ti = "17/77174/58930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77174/58930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77174 ÷ 217
    77174 ÷ 131072     		x = 0.588790893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58930 ÷ 217
    58930 ÷ 131072     		y = 0.449600219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588790893554688 × 2 - 1) × π
    0.177581787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.55788964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449600219726562 × 2 - 1) × π
    0.100799560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.316671158890091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55788964} λ = 0.55788964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.316671158890091))-π/2
    2×atan(1.37255114646349)-π/2
    2×0.9411518816432-π/2
    1.8823037632864-1.57079632675     		φ = 0.31150744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55788964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.964722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31150744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.848062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77174 KachelY 58930 0.55788964 0.31150744 31.964722 17.848062
    Oben rechts KachelX + 1 77175 KachelY 58930 0.55793757 0.31150744 31.967468 17.848062
    Unten links KachelX 77174 KachelY + 1 58931 0.55788964 0.31146181 31.964722 17.845447
    Unten rechts KachelX + 1 77175 KachelY + 1 58931 0.55793757 0.31146181 31.967468 17.845447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31150744-0.31146181) × R
    4.56300000000187e-05 × 6371000     		dl = 290.708730000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31150744-0.31146181) × R
    4.56300000000187e-05 × 6371000     		dr = 290.708730000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55788964-0.55793757) × cos(0.31150744) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.951872630439493 × 6371000     		do = 290.665758732621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55788964-0.55793757) × cos(0.31146181) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.95188661476406 × 6371000     		du = 290.670029014359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31150744)-sin(0.31146181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951872630439493-0.95188661476406)×R²
    abs(0.55793757-0.55788964)×1.39843245664517e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.39843245664517e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.39843245664517e-05×40589641000000     		ar = 84499.6942944711m²