Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77170 / 58939
↖ ↑ ↗
← N 17.824530°
E 31.953735°		 ← 290.76 m → N 17.824530°
E 31.956482°		 →
↑
290.77 m
↓
↑
290.77 m
↓
N 17.821915°
E 31.953735°		 ← 290.77 m →
84 547 m²		 N 17.821915°
E 31.956482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588764190673828 y=0.449672698974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588764190673828 × 217)
    floor (0.588764190673828 × 131072)
    floor (77170.5)     		tx = 77170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449672698974609 × 217)
    floor (0.449672698974609 × 131072)
    floor (58939.5)     		ty = 58939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77170 / 58939 ti = "17/77170/58939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77170/58939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77170 ÷ 217
    77170 ÷ 131072     		x = 0.588760375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58939 ÷ 217
    58939 ÷ 131072     		y = 0.449668884277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588760375976562 × 2 - 1) × π
    0.177520751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.55769789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449668884277344 × 2 - 1) × π
    0.100662231445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.31623972679351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55769789} λ = 0.55769789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31623972679351))-π/2
    2×atan(1.37195911156532)-π/2
    2×0.940946533870025-π/2
    1.88189306774005-1.57079632675     		φ = 0.31109674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55769789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.953735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31109674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.824530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77170 KachelY 58939 0.55769789 0.31109674 31.953735 17.824530
    Oben rechts KachelX + 1 77171 KachelY 58939 0.55774583 0.31109674 31.956482 17.824530
    Unten links KachelX 77170 KachelY + 1 58940 0.55769789 0.31105110 31.953735 17.821915
    Unten rechts KachelX + 1 77171 KachelY + 1 58940 0.55774583 0.31105110 31.956482 17.821915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31109674-0.31105110) × R
    4.56399999999579e-05 × 6371000     		dl = 290.772439999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31109674-0.31105110) × R
    4.56399999999579e-05 × 6371000     		dr = 290.772439999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55769789-0.55774583) × cos(0.31109674) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951998427192108 × 6371000     		do = 290.764824103795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55769789-0.55774583) × cos(0.31105110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952012396737637 × 6371000     		du = 290.769090762576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31109674)-sin(0.31105110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951998427192108-0.952012396737637)×R²
    abs(0.55774583-0.55769789)×1.39695455286803e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39695455286803e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39695455286803e-05×40589641000000     		ar = 84547.0176988156m²