Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7717 / 4304
↖ ↑ ↗
← N 64.623877°
W 10.437012°		 ← 1 047.09 m → N 64.623877°
W 10.415039°		 →
↑
1 047.26 m
↓
↑
1 047.26 m
↓
N 64.614459°
W 10.437012°		 ← 1 047.45 m →
1 096 769 m²		 N 64.614459°
W 10.415039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471038818359375 y=0.262725830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471038818359375 × 214)
    floor (0.471038818359375 × 16384)
    floor (7717.5)     		tx = 7717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262725830078125 × 214)
    floor (0.262725830078125 × 16384)
    floor (4304.5)     		ty = 4304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7717 / 4304 ti = "14/7717/4304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7717/4304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7717 ÷ 214
    7717 ÷ 16384     		x = 0.47100830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4304 ÷ 214
    4304 ÷ 16384     		y = 0.2626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47100830078125 × 2 - 1) × π
    -0.0579833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18216022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2626953125 × 2 - 1) × π
    0.474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49102932578223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18216022} λ = -0.18216022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49102932578223))-π/2
    2×atan(4.4416650872033)-π/2
    2×1.34934787967843-π/2
    2.69869575935685-1.57079632675     		φ = 1.12789943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18216022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.437012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12789943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.623877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7717 KachelY 4304 -0.18216022 1.12789943 -10.437012 64.623877
    Oben rechts KachelX + 1 7718 KachelY 4304 -0.18177672 1.12789943 -10.415039 64.623877
    Unten links KachelX 7717 KachelY + 1 4305 -0.18216022 1.12773505 -10.437012 64.614459
    Unten rechts KachelX + 1 7718 KachelY + 1 4305 -0.18177672 1.12773505 -10.415039 64.614459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12789943-1.12773505) × R
    0.000164379999999964 × 6371000     		dl = 1047.26497999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12789943-1.12773505) × R
    0.000164379999999964 × 6371000     		dr = 1047.26497999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18216022--0.18177672) × cos(1.12789943) × R
    0.000383500000000009 × 0.428558646350392 × 6371000     		do = 1047.08812661704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18216022--0.18177672) × cos(1.12773505) × R
    0.000383500000000009 × 0.428707160185448 × 6371000     		du = 1047.45098727719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12789943)-sin(1.12773505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428558646350392-0.428707160185448)×R²
    abs(-0.18177672--0.18216022)×0.000148513835055986×R²
    0.000383500000000009×0.000148513835055986×6371000²
    0.000383500000000009×0.000148513835055986×40589641000000     		ar = 1096768.73408133m²