Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77169 / 58929
↖ ↑ ↗
← N 17.850676°
E 31.950989°		 ← 290.72 m → N 17.850676°
E 31.953735°		 →
↑
290.71 m
↓
↑
290.71 m
↓
N 17.848062°
E 31.950989°		 ← 290.73 m →
84 516 m²		 N 17.848062°
E 31.953735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588756561279297 y=0.449596405029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588756561279297 × 217)
    floor (0.588756561279297 × 131072)
    floor (77169.5)     		tx = 77169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449596405029297 × 217)
    floor (0.449596405029297 × 131072)
    floor (58929.5)     		ty = 58929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77169 / 58929 ti = "17/77169/58929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77169/58929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77169 ÷ 217
    77169 ÷ 131072     		x = 0.588752746582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58929 ÷ 217
    58929 ÷ 131072     		y = 0.449592590332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588752746582031 × 2 - 1) × π
    0.177505493164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.55764995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449592590332031 × 2 - 1) × π
    0.100814819335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.316719095789711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55764995} λ = 0.55764995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.316719095789711))-π/2
    2×atan(1.37261694388707)-π/2
    2×0.941174696386985-π/2
    1.88234939277397-1.57079632675     		φ = 0.31155307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55764995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.950989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31155307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.850676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77169 KachelY 58929 0.55764995 0.31155307 31.950989 17.850676
    Oben rechts KachelX + 1 77170 KachelY 58929 0.55769789 0.31155307 31.953735 17.850676
    Unten links KachelX 77169 KachelY + 1 58930 0.55764995 0.31150744 31.950989 17.848062
    Unten rechts KachelX + 1 77170 KachelY + 1 58930 0.55769789 0.31150744 31.953735 17.848062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31155307-0.31150744) × R
    4.56299999999632e-05 × 6371000     		dl = 290.708729999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31155307-0.31150744) × R
    4.56299999999632e-05 × 6371000     		dr = 290.708729999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55764995-0.55769789) × cos(0.31155307) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.951858644133036 × 6371000     		do = 290.722130760212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55764995-0.55769789) × cos(0.31150744) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.951872630439493 × 6371000     		du = 290.726402538211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31155307)-sin(0.31150744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951858644133036-0.951872630439493)×R²
    abs(0.55769789-0.55764995)×1.39863064575474e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.39863064575474e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.39863064575474e-05×40589641000000     		ar = 84516.0823523434m²