Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7715 / 9677
↖ ↑ ↗
← S 30.996446°
W 10.480957°		 ← 2 094.38 m → S 30.996446°
W 10.458984°		 →
↑
2 094.15 m
↓
↑
2 094.15 m
↓
S 31.015279°
W 10.480957°		 ← 2 093.96 m →
4 385 501 m²		 S 31.015279°
W 10.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470916748046875 y=0.590667724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470916748046875 × 214)
    floor (0.470916748046875 × 16384)
    floor (7715.5)     		tx = 7715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590667724609375 × 214)
    floor (0.590667724609375 × 16384)
    floor (9677.5)     		ty = 9677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7715 / 9677 ti = "14/7715/9677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7715/9677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7715 ÷ 214
    7715 ÷ 16384     		x = 0.47088623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9677 ÷ 214
    9677 ÷ 16384     		y = 0.59063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47088623046875 × 2 - 1) × π
    -0.0582275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18292721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.1812744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.569490367486267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18292721} λ = -0.18292721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.569490367486267))-π/2
    2×atan(0.565813722303551)-π/2
    2×0.514903144741235-π/2
    1.02980628948247-1.57079632675     		φ = -0.54099004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18292721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.480957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54099004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.996446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7715 KachelY 9677 -0.18292721 -0.54099004 -10.480957 -30.996446
    Oben rechts KachelX + 1 7716 KachelY 9677 -0.18254371 -0.54099004 -10.458984 -30.996446
    Unten links KachelX 7715 KachelY + 1 9678 -0.18292721 -0.54131874 -10.480957 -31.015279
    Unten rechts KachelX + 1 7716 KachelY + 1 9678 -0.18254371 -0.54131874 -10.458984 -31.015279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54099004--0.54131874) × R
    0.000328700000000071 × 6371000     		dl = 2094.14770000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54099004--0.54131874) × R
    0.000328700000000071 × 6371000     		dr = 2094.14770000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18292721--0.18254371) × cos(-0.54099004) × R
    0.000383500000000009 × 0.857199245895731 × 6371000     		do = 2094.3764877133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18292721--0.18254371) × cos(-0.54131874) × R
    0.000383500000000009 × 0.857029924052875 × 6371000     		du = 2093.96278729507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54099004)-sin(-0.54131874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857199245895731-0.857029924052875)×R²
    abs(-0.18254371--0.18292721)×0.000169321842855896×R²
    0.000383500000000009×0.000169321842855896×6371000²
    0.000383500000000009×0.000169321842855896×40589641000000     		ar = 4385500.56927591m²