Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7715 / 9597
↖ ↑ ↗
← S 29.477861°
W 10.480957°		 ← 2 126.99 m → S 29.477861°
W 10.458984°		 →
↑
2 126.77 m
↓
↑
2 126.77 m
↓
S 29.496987°
W 10.480957°		 ← 2 126.58 m →
4 523 177 m²		 S 29.496987°
W 10.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470916748046875 y=0.585784912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470916748046875 × 214)
    floor (0.470916748046875 × 16384)
    floor (7715.5)     		tx = 7715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585784912109375 × 214)
    floor (0.585784912109375 × 16384)
    floor (9597.5)     		ty = 9597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7715 / 9597 ti = "14/7715/9597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7715/9597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7715 ÷ 214
    7715 ÷ 16384     		x = 0.47088623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9597 ÷ 214
    9597 ÷ 16384     		y = 0.58575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47088623046875 × 2 - 1) × π
    -0.0582275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18292721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58575439453125 × 2 - 1) × π
    -0.1715087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.538810751729431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18292721} λ = -0.18292721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.538810751729431))-π/2
    2×atan(0.583441696982474)-π/2
    2×0.528155296247713-π/2
    1.05631059249543-1.57079632675     		φ = -0.51448573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18292721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.480957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51448573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.477861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7715 KachelY 9597 -0.18292721 -0.51448573 -10.480957 -29.477861
    Oben rechts KachelX + 1 7716 KachelY 9597 -0.18254371 -0.51448573 -10.458984 -29.477861
    Unten links KachelX 7715 KachelY + 1 9598 -0.18292721 -0.51481955 -10.480957 -29.496987
    Unten rechts KachelX + 1 7716 KachelY + 1 9598 -0.18254371 -0.51481955 -10.458984 -29.496987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51448573--0.51481955) × R
    0.00033382000000004 × 6371000     		dl = 2126.76722000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51448573--0.51481955) × R
    0.00033382000000004 × 6371000     		dr = 2126.76722000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18292721--0.18254371) × cos(-0.51448573) × R
    0.000383500000000009 × 0.870545903098978 × 6371000     		do = 2126.98608830487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18292721--0.18254371) × cos(-0.51481955) × R
    0.000383500000000009 × 0.870381586041768 × 6371000     		du = 2126.5846159718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51448573)-sin(-0.51481955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870545903098978-0.870381586041768)×R²
    abs(-0.18254371--0.18292721)×0.000164317057210095×R²
    0.000383500000000009×0.000164317057210095×6371000²
    0.000383500000000009×0.000164317057210095×40589641000000     		ar = 4523177.412908m²