Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7715 / 6652
↖ ↑ ↗
← N 72.408992°
W 95.240478°		 ← 369.20 m → N 72.408992°
W 95.229492°		 →
↑
369.20 m
↓
↑
369.20 m
↓
N 72.405671°
W 95.240478°		 ← 369.27 m →
136 322 m²		 N 72.405671°
W 95.229492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.235458374023438 y=0.203018188476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.235458374023438 × 215)
    floor (0.235458374023438 × 32768)
    floor (7715.5)     		tx = 7715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203018188476562 × 215)
    floor (0.203018188476562 × 32768)
    floor (6652.5)     		ty = 6652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7715 / 6652 ti = "15/7715/6652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7715/6652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7715 ÷ 215
    7715 ÷ 32768     		x = 0.235443115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6652 ÷ 215
    6652 ÷ 32768     		y = 0.2030029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.235443115234375 × 2 - 1) × π
    -0.52911376953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.66225993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2030029296875 × 2 - 1) × π
    0.593994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.86608762840955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66225993} λ = -1.66225993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86608762840955))-π/2
    2×atan(6.46296136513383)-π/2
    2×1.41728582024191-π/2
    2.83457164048381-1.57079632675     		φ = 1.26377531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66225993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.240478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26377531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.408992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7715 KachelY 6652 -1.66225993 1.26377531 -95.240478 72.408992
    Oben rechts KachelX + 1 7716 KachelY 6652 -1.66206818 1.26377531 -95.229492 72.408992
    Unten links KachelX 7715 KachelY + 1 6653 -1.66225993 1.26371736 -95.240478 72.405671
    Unten rechts KachelX + 1 7716 KachelY + 1 6653 -1.66206818 1.26371736 -95.229492 72.405671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26377531-1.26371736) × R
    5.79499999999733e-05 × 6371000     		dl = 369.19944999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26377531-1.26371736) × R
    5.79499999999733e-05 × 6371000     		dr = 369.19944999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66225993--1.66206818) × cos(1.26377531) × R
    0.000191750000000157 × 0.302220301332987 × 6371000     		do = 369.204182255507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66225993--1.66206818) × cos(1.26371736) × R
    0.000191750000000157 × 0.302275540973824 × 6371000     		du = 369.271665168909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26377531)-sin(1.26371736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302220301332987-0.302275540973824)×R²
    abs(-1.66206818--1.66225993)×5.52396408363132e-05×R²
    0.000191750000000157×5.52396408363132e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.52396408363132e-05×40589641000000     		ar = 136322.438391908m²