Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7714 / 9603
↖ ↑ ↗
← S 29.592565°
W 10.502929°		 ← 2 124.52 m → S 29.592565°
W 10.480957°		 →
↑
2 124.35 m
↓
↑
2 124.35 m
↓
S 29.611670°
W 10.502929°		 ← 2 124.12 m →
4 512 787 m²		 S 29.611670°
W 10.480957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470855712890625 y=0.586151123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470855712890625 × 214)
    floor (0.470855712890625 × 16384)
    floor (7714.5)     		tx = 7714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586151123046875 × 214)
    floor (0.586151123046875 × 16384)
    floor (9603.5)     		ty = 9603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7714 / 9603 ti = "14/7714/9603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7714/9603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7714 ÷ 214
    7714 ÷ 16384     		x = 0.4708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9603 ÷ 214
    9603 ÷ 16384     		y = 0.58612060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4708251953125 × 2 - 1) × π
    -0.058349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18331070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58612060546875 × 2 - 1) × π
    -0.1722412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.541111722911194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18331070} λ = -0.18331070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.541111722911194))-π/2
    2×atan(0.582100757774346)-π/2
    2×0.527154313204375-π/2
    1.05430862640875-1.57079632675     		φ = -0.51648770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18331070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.502929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51648770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.592565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7714 KachelY 9603 -0.18331070 -0.51648770 -10.502929 -29.592565
    Oben rechts KachelX + 1 7715 KachelY 9603 -0.18292721 -0.51648770 -10.480957 -29.592565
    Unten links KachelX 7714 KachelY + 1 9604 -0.18331070 -0.51682114 -10.502929 -29.611670
    Unten rechts KachelX + 1 7715 KachelY + 1 9604 -0.18292721 -0.51682114 -10.480957 -29.611670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51648770--0.51682114) × R
    0.000333440000000018 × 6371000     		dl = 2124.34624000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51648770--0.51682114) × R
    0.000333440000000018 × 6371000     		dr = 2124.34624000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18331070--0.18292721) × cos(-0.51648770) × R
    0.000383489999999986 × 0.869559015385378 × 6371000     		do = 2124.51944716732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18331070--0.18292721) × cos(-0.51682114) × R
    0.000383489999999986 × 0.869394304694246 × 6371000     		du = 2124.11702357067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51648770)-sin(-0.51682114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869559015385378-0.869394304694246)×R²
    abs(-0.18292721--0.18331070)×0.000164710691132441×R²
    0.000383489999999986×0.000164710691132441×6371000²
    0.000383489999999986×0.000164710691132441×40589641000000     		ar = 4512787.49768192m²