Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7714 / 1634
↖ ↑ ↗
← N 72.790088°
E158.994141°		 ← 1 445.78 m → N 72.790088°
E159.038086°		 →
↑
1 446.28 m
↓
↑
1 446.28 m
↓
N 72.777081°
E158.994141°		 ← 1 446.84 m →
2 091 774 m²		 N 72.777081°
E159.038086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94171142578125 y=0.19952392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94171142578125 × 213)
    floor (0.94171142578125 × 8192)
    floor (7714.5)     		tx = 7714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19952392578125 × 213)
    floor (0.19952392578125 × 8192)
    floor (1634.5)     		ty = 1634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7714 / 1634 ti = "13/7714/1634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7714/1634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7714 ÷ 213
    7714 ÷ 8192     		x = 0.941650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1634 ÷ 213
    1634 ÷ 8192     		y = 0.199462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941650390625 × 2 - 1) × π
    0.88330078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.77497125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.199462890625 × 2 - 1) × π
    0.60107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.88833034983325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77497125} λ = 2.77497125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88833034983325))-π/2
    2×atan(6.60832587240002)-π/2
    2×1.4206115149817-π/2
    2.84122302996341-1.57079632675     		φ = 1.27042670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77497125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.994141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27042670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.790088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7714 KachelY 1634 2.77497125 1.27042670 158.994141 72.790088
    Oben rechts KachelX + 1 7715 KachelY 1634 2.77573824 1.27042670 159.038086 72.790088
    Unten links KachelX 7714 KachelY + 1 1635 2.77497125 1.27019969 158.994141 72.777081
    Unten rechts KachelX + 1 7715 KachelY + 1 1635 2.77573824 1.27019969 159.038086 72.777081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27042670-1.27019969) × R
    0.000227009999999916 × 6371000     		dl = 1446.28070999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27042670-1.27019969) × R
    0.000227009999999916 × 6371000     		dr = 1446.28070999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77497125-2.77573824) × cos(1.27042670) × R
    0.000766989999999801 × 0.295873304430251 × 6371000     		do = 1445.78291678817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77497125-2.77573824) × cos(1.27019969) × R
    0.000766989999999801 × 0.296090142929472 × 6371000     		du = 1446.84249665963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27042670)-sin(1.27019969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295873304430251-0.296090142929472)×R²
    abs(2.77573824-2.77497125)×0.000216838499221439×R²
    0.000766989999999801×0.000216838499221439×6371000²
    0.000766989999999801×0.000216838499221439×40589641000000     		ar = 2091774.17734429m²