Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7713 / 3170
↖ ↑ ↗
← N 73.415885°
W 10.524902°		 ← 697.37 m → N 73.415885°
W 10.502929°		 →
↑
697.50 m
↓
↑
697.50 m
↓
N 73.409612°
W 10.524902°		 ← 697.62 m →
486 501 m²		 N 73.409612°
W 10.502929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470794677734375 y=0.193511962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470794677734375 × 214)
    floor (0.470794677734375 × 16384)
    floor (7713.5)     		tx = 7713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193511962890625 × 214)
    floor (0.193511962890625 × 16384)
    floor (3170.5)     		ty = 3170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7713 / 3170 ti = "14/7713/3170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7713/3170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7713 ÷ 214
    7713 ÷ 16384     		x = 0.47076416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3170 ÷ 214
    3170 ÷ 16384     		y = 0.1934814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47076416015625 × 2 - 1) × π
    -0.0584716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18369420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1934814453125 × 2 - 1) × π
    0.613037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.92591287913538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18369420} λ = -0.18369420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92591287913538))-π/2
    2×atan(6.86140944531885)-π/2
    2×1.42607262393435-π/2
    2.8521452478687-1.57079632675     		φ = 1.28134892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18369420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.524902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28134892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.415885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7713 KachelY 3170 -0.18369420 1.28134892 -10.524902 73.415885
    Oben rechts KachelX + 1 7714 KachelY 3170 -0.18331070 1.28134892 -10.502929 73.415885
    Unten links KachelX 7713 KachelY + 1 3171 -0.18369420 1.28123944 -10.524902 73.409612
    Unten rechts KachelX + 1 7714 KachelY + 1 3171 -0.18331070 1.28123944 -10.502929 73.409612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28134892-1.28123944) × R
    0.000109479999999884 × 6371000     		dl = 697.497079999262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28134892-1.28123944) × R
    0.000109479999999884 × 6371000     		dr = 697.497079999262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18369420--0.18331070) × cos(1.28134892) × R
    0.000383500000000009 × 0.285422662418267 × 6371000     		do = 697.367054499325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18369420--0.18331070) × cos(1.28123944) × R
    0.000383500000000009 × 0.285527586530521 × 6371000     		du = 697.623413326927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28134892)-sin(1.28123944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285422662418267-0.285527586530521)×R²
    abs(-0.18331070--0.18369420)×0.000104924112253935×R²
    0.000383500000000009×0.000104924112253935×6371000²
    0.000383500000000009×0.000104924112253935×40589641000000     		ar = 486500.889454567m²