Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7713 / 1573
↖ ↑ ↗
← N 73.565739°
E158.950195°		 ← 1 382.48 m → N 73.565739°
E158.994141°		 →
↑
1 382.95 m
↓
↑
1 382.95 m
↓
N 73.553302°
E158.950195°		 ← 1 383.50 m →
1 912 609 m²		 N 73.553302°
E158.994141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94158935546875 y=0.19207763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94158935546875 × 213)
    floor (0.94158935546875 × 8192)
    floor (7713.5)     		tx = 7713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19207763671875 × 213)
    floor (0.19207763671875 × 8192)
    floor (1573.5)     		ty = 1573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7713 / 1573 ti = "13/7713/1573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7713/1573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7713 ÷ 213
    7713 ÷ 8192     		x = 0.9415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1573 ÷ 213
    1573 ÷ 8192     		y = 0.1920166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9415283203125 × 2 - 1) × π
    0.883056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.77420425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1920166015625 × 2 - 1) × π
    0.615966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93511676386243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77420425} λ = 2.77420425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93511676386243))-π/2
    2×atan(6.92485258070815)-π/2
    2×1.42738034487523-π/2
    2.85476068975047-1.57079632675     		φ = 1.28396436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77420425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.950195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28396436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.565739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7713 KachelY 1573 2.77420425 1.28396436 158.950195 73.565739
    Oben rechts KachelX + 1 7714 KachelY 1573 2.77497125 1.28396436 158.994141 73.565739
    Unten links KachelX 7713 KachelY + 1 1574 2.77420425 1.28374729 158.950195 73.553302
    Unten rechts KachelX + 1 7714 KachelY + 1 1574 2.77497125 1.28374729 158.994141 73.553302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28396436-1.28374729) × R
    0.00021706999999993 × 6371000     		dl = 1382.95296999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28396436-1.28374729) × R
    0.00021706999999993 × 6371000     		dr = 1382.95296999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77420425-2.77497125) × cos(1.28396436) × R
    0.000767000000000184 × 0.282915046797464 × 6371000     		do = 1382.48050233381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77420425-2.77497125) × cos(1.28374729) × R
    0.000767000000000184 × 0.283123241729395 × 6371000     		du = 1383.4978587358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28396436)-sin(1.28374729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282915046797464-0.283123241729395)×R²
    abs(2.77497125-2.77420425)×0.000208194931930306×R²
    0.000767000000000184×0.000208194931930306×6371000²
    0.000767000000000184×0.000208194931930306×40589641000000     		ar = 1912609.00220901m²