Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77129 / 57420
↖ ↑ ↗
← N 21.749296°
E 31.841126°		 ← 283.62 m → N 21.749296°
E 31.843872°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
N 21.746745°
E 31.841126°		 ← 283.63 m →
80 447 m²		 N 21.746745°
E 31.843872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588451385498047 y=0.438083648681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588451385498047 × 217)
    floor (0.588451385498047 × 131072)
    floor (77129.5)     		tx = 77129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438083648681641 × 217)
    floor (0.438083648681641 × 131072)
    floor (57420.5)     		ty = 57420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77129 / 57420 ti = "17/77129/57420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77129/57420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77129 ÷ 217
    77129 ÷ 131072     		x = 0.588447570800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57420 ÷ 217
    57420 ÷ 131072     		y = 0.438079833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588447570800781 × 2 - 1) × π
    0.176895141601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.55573248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438079833984375 × 2 - 1) × π
    0.12384033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.389055877316376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55573248} λ = 0.55573248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389055877316376))-π/2
    2×atan(1.47558700087119)-π/2
    2×0.975196574562919-π/2
    1.95039314912584-1.57079632675     		φ = 0.37959682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55573248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.841126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37959682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.749296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77129 KachelY 57420 0.55573248 0.37959682 31.841126 21.749296
    Oben rechts KachelX + 1 77130 KachelY 57420 0.55578041 0.37959682 31.843872 21.749296
    Unten links KachelX 77129 KachelY + 1 57421 0.55573248 0.37955230 31.841126 21.746745
    Unten rechts KachelX + 1 77130 KachelY + 1 57421 0.55578041 0.37955230 31.843872 21.746745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37959682-0.37955230) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37959682-0.37955230) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55573248-0.55578041) × cos(0.37959682) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92881410780819 × 6371000     		do = 283.624561453121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55573248-0.55578041) × cos(0.37955230) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.928830603596538 × 6371000     		du = 283.629598640538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37959682)-sin(0.37955230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92881410780819-0.928830603596538)×R²
    abs(0.55578041-0.55573248)×1.64957883479477e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64957883479477e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64957883479477e-05×40589641000000     		ar = 80447.1114263214m²