Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77128 / 57419
↖ ↑ ↗
← N 21.751847°
E 31.838379°		 ← 283.68 m → N 21.751847°
E 31.841126°		 →
↑
283.70 m
↓
↑
283.70 m
↓
N 21.749296°
E 31.838379°		 ← 283.68 m →
80 481 m²		 N 21.749296°
E 31.841126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588443756103516 y=0.438076019287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588443756103516 × 217)
    floor (0.588443756103516 × 131072)
    floor (77128.5)     		tx = 77128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438076019287109 × 217)
    floor (0.438076019287109 × 131072)
    floor (57419.5)     		ty = 57419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77128 / 57419 ti = "17/77128/57419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77128/57419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77128 ÷ 217
    77128 ÷ 131072     		x = 0.58843994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57419 ÷ 217
    57419 ÷ 131072     		y = 0.438072204589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58843994140625 × 2 - 1) × π
    0.1768798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.55568454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438072204589844 × 2 - 1) × π
    0.123855590820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.389103814215996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55568454} λ = 0.55568454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389103814215996))-π/2
    2×atan(1.47565773763257)-π/2
    2×0.975218836599498-π/2
    1.950437673199-1.57079632675     		φ = 0.37964135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55568454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.838379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37964135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.751847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77128 KachelY 57419 0.55568454 0.37964135 31.838379 21.751847
    Oben rechts KachelX + 1 77129 KachelY 57419 0.55573248 0.37964135 31.841126 21.751847
    Unten links KachelX 77128 KachelY + 1 57420 0.55568454 0.37959682 31.838379 21.749296
    Unten rechts KachelX + 1 77129 KachelY + 1 57420 0.55573248 0.37959682 31.841126 21.749296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37964135-0.37959682) × R
    4.45299999999871e-05 × 6371000     		dl = 283.700629999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37964135-0.37959682) × R
    4.45299999999871e-05 × 6371000     		dr = 283.700629999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55568454-0.55573248) × cos(0.37964135) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92879760647303 × 6371000     		do = 283.678696267068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55568454-0.55573248) × cos(0.37959682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92881410780819 × 6371000     		du = 283.68373619957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37964135)-sin(0.37959682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92879760647303-0.92881410780819)×R²
    abs(0.55573248-0.55568454)×1.65013351595134e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65013351595134e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65013351595134e-05×40589641000000     		ar = 80480.5397777958m²