Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77127 / 57417
↖ ↑ ↗
← N 21.756949°
E 31.835632°		 ← 283.67 m → N 21.756949°
E 31.838379°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
N 21.754398°
E 31.835632°		 ← 283.67 m →
80 460 m²		 N 21.754398°
E 31.838379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588436126708984 y=0.438060760498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588436126708984 × 217)
    floor (0.588436126708984 × 131072)
    floor (77127.5)     		tx = 77127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438060760498047 × 217)
    floor (0.438060760498047 × 131072)
    floor (57417.5)     		ty = 57417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77127 / 57417 ti = "17/77127/57417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77127/57417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77127 ÷ 217
    77127 ÷ 131072     		x = 0.588432312011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57417 ÷ 217
    57417 ÷ 131072     		y = 0.438056945800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588432312011719 × 2 - 1) × π
    0.176864624023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.55563660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438056945800781 × 2 - 1) × π
    0.123886108398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.389199688015236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55563660} λ = 0.55563660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389199688015236))-π/2
    2×atan(1.47579922132844)-π/2
    2×0.975263359486187-π/2
    1.95052671897237-1.57079632675     		φ = 0.37973039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55563660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.835632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37973039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.756949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77127 KachelY 57417 0.55563660 0.37973039 31.835632 21.756949
    Oben rechts KachelX + 1 77128 KachelY 57417 0.55568454 0.37973039 31.838379 21.756949
    Unten links KachelX 77127 KachelY + 1 57418 0.55563660 0.37968587 31.835632 21.754398
    Unten rechts KachelX + 1 77128 KachelY + 1 57418 0.55568454 0.37968587 31.838379 21.754398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37973039-0.37968587) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37973039-0.37968587) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55563660-0.55568454) × cos(0.37973039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928764605690949 × 6371000     		do = 283.66861697878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55563660-0.55568454) × cos(0.37968587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928781107002426 × 6371000     		du = 283.673656904049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37973039)-sin(0.37968587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928764605690949-0.928781107002426)×R²
    abs(0.55568454-0.55563660)×1.65013114766799e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65013114766799e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65013114766799e-05×40589641000000     		ar = 80459.607588298m²