Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77125 / 57426
↖ ↑ ↗
← N 21.733989°
E 31.830139°		 ← 283.71 m → N 21.733989°
E 31.832886°		 →
↑
283.70 m
↓
↑
283.70 m
↓
N 21.731437°
E 31.830139°		 ← 283.72 m →
80 491 m²		 N 21.731437°
E 31.832886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588420867919922 y=0.438129425048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588420867919922 × 217)
    floor (0.588420867919922 × 131072)
    floor (77125.5)     		tx = 77125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438129425048828 × 217)
    floor (0.438129425048828 × 131072)
    floor (57426.5)     		ty = 57426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77125 / 57426 ti = "17/77125/57426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77125/57426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77125 ÷ 217
    77125 ÷ 131072     		x = 0.588417053222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57426 ÷ 217
    57426 ÷ 131072     		y = 0.438125610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588417053222656 × 2 - 1) × π
    0.176834106445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.55554073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438125610351562 × 2 - 1) × π
    0.123748779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.388768255918655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55554073} λ = 0.55554073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388768255918655))-π/2
    2×atan(1.47516265150445)-π/2
    2×0.9750629940405-π/2
    1.950125988081-1.57079632675     		φ = 0.37932966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55554073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.830139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37932966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.733989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77125 KachelY 57426 0.55554073 0.37932966 31.830139 21.733989
    Oben rechts KachelX + 1 77126 KachelY 57426 0.55558867 0.37932966 31.832886 21.733989
    Unten links KachelX 77125 KachelY + 1 57427 0.55554073 0.37928513 31.830139 21.731437
    Unten rechts KachelX + 1 77126 KachelY + 1 57427 0.55558867 0.37928513 31.832886 21.731437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37932966-0.37928513) × R
    4.45299999999871e-05 × 6371000     		dl = 283.700629999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37932966-0.37928513) × R
    4.45299999999871e-05 × 6371000     		dr = 283.700629999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55554073-0.55558867) × cos(0.37932966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928913069734982 × 6371000     		do = 283.713961719292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55554073-0.55558867) × cos(0.37928513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928929558177927 × 6371000     		du = 283.71899771418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37932966)-sin(0.37928513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928913069734982-0.928929558177927)×R²
    abs(0.55558867-0.55554073)×1.64884429455503e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64884429455503e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64884429455503e-05×40589641000000     		ar = 80490.544050353m²