Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77124 / 58956
↖ ↑ ↗
← N 17.780074°
E 31.827392°		 ← 290.84 m → N 17.780074°
E 31.830139°		 →
↑
290.77 m
↓
↑
290.77 m
↓
N 17.777459°
E 31.827392°		 ← 290.84 m →
84 568 m²		 N 17.777459°
E 31.830139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588413238525391 y=0.449802398681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588413238525391 × 217)
    floor (0.588413238525391 × 131072)
    floor (77124.5)     		tx = 77124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449802398681641 × 217)
    floor (0.449802398681641 × 131072)
    floor (58956.5)     		ty = 58956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77124 / 58956 ti = "17/77124/58956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77124/58956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77124 ÷ 217
    77124 ÷ 131072     		x = 0.588409423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58956 ÷ 217
    58956 ÷ 131072     		y = 0.449798583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588409423828125 × 2 - 1) × π
    0.17681884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.55549279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449798583984375 × 2 - 1) × π
    0.10040283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.315424799499969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55549279} λ = 0.55549279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.315424799499969))-π/2
    2×atan(1.37084152007944)-π/2
    2×0.940558580772446-π/2
    1.88111716154489-1.57079632675     		φ = 0.31032083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55549279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.827392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31032083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.780074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77124 KachelY 58956 0.55549279 0.31032083 31.827392 17.780074
    Oben rechts KachelX + 1 77125 KachelY 58956 0.55554073 0.31032083 31.830139 17.780074
    Unten links KachelX 77124 KachelY + 1 58957 0.55549279 0.31027519 31.827392 17.777459
    Unten rechts KachelX + 1 77125 KachelY + 1 58957 0.55554073 0.31027519 31.830139 17.777459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31032083-0.31027519) × R
    4.56400000000134e-05 × 6371000     		dl = 290.772440000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31032083-0.31027519) × R
    4.56400000000134e-05 × 6371000     		dr = 290.772440000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55549279-0.55554073) × cos(0.31032083) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.952235648912316 × 6371000     		do = 290.837277723907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55549279-0.55554073) × cos(0.31027519) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.952249584740721 × 6371000     		du = 290.84153408461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31032083)-sin(0.31027519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952235648912316-0.952249584740721)×R²
    abs(0.55554073-0.55549279)×1.39358284045876e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.39358284045876e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.39358284045876e-05×40589641000000     		ar = 84568.0837176715m²