Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77124 / 57429
↖ ↑ ↗
← N 21.726334°
E 31.827392°		 ← 283.73 m → N 21.726334°
E 31.830139°		 →
↑
283.70 m
↓
↑
283.70 m
↓
N 21.723783°
E 31.827392°		 ← 283.73 m →
80 495 m²		 N 21.723783°
E 31.830139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588413238525391 y=0.438152313232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588413238525391 × 217)
    floor (0.588413238525391 × 131072)
    floor (77124.5)     		tx = 77124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438152313232422 × 217)
    floor (0.438152313232422 × 131072)
    floor (57429.5)     		ty = 57429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77124 / 57429 ti = "17/77124/57429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77124/57429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77124 ÷ 217
    77124 ÷ 131072     		x = 0.588409423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57429 ÷ 217
    57429 ÷ 131072     		y = 0.438148498535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588409423828125 × 2 - 1) × π
    0.17681884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.55549279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438148498535156 × 2 - 1) × π
    0.123703002929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.388624445219795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55549279} λ = 0.55549279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388624445219795))-π/2
    2×atan(1.47495052258617)-π/2
    2×0.974996198443353-π/2
    1.94999239688671-1.57079632675     		φ = 0.37919607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55549279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.827392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37919607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.726334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77124 KachelY 57429 0.55549279 0.37919607 31.827392 21.726334
    Oben rechts KachelX + 1 77125 KachelY 57429 0.55554073 0.37919607 31.830139 21.726334
    Unten links KachelX 77124 KachelY + 1 57430 0.55549279 0.37915154 31.827392 21.723783
    Unten rechts KachelX + 1 77125 KachelY + 1 57430 0.55554073 0.37915154 31.830139 21.723783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37919607-0.37915154) × R
    4.45299999999871e-05 × 6371000     		dl = 283.700629999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37919607-0.37915154) × R
    4.45299999999871e-05 × 6371000     		dr = 283.700629999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55549279-0.55554073) × cos(0.37919607) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.928962529537804 × 6371000     		do = 283.729068016827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55549279-0.55554073) × cos(0.37915154) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.92897901245467 × 6371000     		du = 283.734102323908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37919607)-sin(0.37915154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928962529537804-0.92897901245467)×R²
    abs(0.55554073-0.55549279)×1.64829168660674e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.64829168660674e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.64829168660674e-05×40589641000000     		ar = 80494.8294769758m²