Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77118 / 57410
↖ ↑ ↗
← N 21.774804°
E 31.810913°		 ← 283.63 m → N 21.774804°
E 31.813660°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
N 21.772254°
E 31.810913°		 ← 283.64 m →
80 450 m²		 N 21.772254°
E 31.813660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588367462158203 y=0.438007354736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588367462158203 × 217)
    floor (0.588367462158203 × 131072)
    floor (77118.5)     		tx = 77118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438007354736328 × 217)
    floor (0.438007354736328 × 131072)
    floor (57410.5)     		ty = 57410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77118 / 57410 ti = "17/77118/57410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77118/57410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77118 ÷ 217
    77118 ÷ 131072     		x = 0.588363647460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57410 ÷ 217
    57410 ÷ 131072     		y = 0.438003540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588363647460938 × 2 - 1) × π
    0.176727294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.55520517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438003540039062 × 2 - 1) × π
    0.123992919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.389535246312576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55520517} λ = 0.55520517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389535246312576))-π/2
    2×atan(1.47629452109869)-π/2
    2×0.975419177127776-π/2
    1.95083835425555-1.57079632675     		φ = 0.38004203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55520517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.810913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38004203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.774804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77118 KachelY 57410 0.55520517 0.38004203 31.810913 21.774804
    Oben rechts KachelX + 1 77119 KachelY 57410 0.55525311 0.38004203 31.813660 21.774804
    Unten links KachelX 77118 KachelY + 1 57411 0.55520517 0.37999751 31.810913 21.772254
    Unten rechts KachelX + 1 77119 KachelY + 1 57411 0.55525311 0.37999751 31.813660 21.772254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38004203-0.37999751) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38004203-0.37999751) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55520517-0.55525311) × cos(0.38004203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928649044968933 × 6371000     		do = 283.633321759744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55520517-0.55525311) × cos(0.37999751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9286655591656 × 6371000     		du = 283.638365620481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38004203)-sin(0.37999751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928649044968933-0.9286655591656)×R²
    abs(0.55525311-0.55520517)×1.65141966675941e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65141966675941e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65141966675941e-05×40589641000000     		ar = 80449.5971192181m²