Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7711 / 3166
↖ ↑ ↗
← N 73.440953°
W 10.568848°		 ← 696.34 m → N 73.440953°
W 10.546875°		 →
↑
696.48 m
↓
↑
696.48 m
↓
N 73.434689°
W 10.568848°		 ← 696.60 m →
485 076 m²		 N 73.434689°
W 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470672607421875 y=0.193267822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470672607421875 × 214)
    floor (0.470672607421875 × 16384)
    floor (7711.5)     		tx = 7711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193267822265625 × 214)
    floor (0.193267822265625 × 16384)
    floor (3166.5)     		ty = 3166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7711 / 3166 ti = "14/7711/3166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7711/3166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7711 ÷ 214
    7711 ÷ 16384     		x = 0.47064208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3166 ÷ 214
    3166 ÷ 16384     		y = 0.1932373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47064208984375 × 2 - 1) × π
    -0.0587158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18446119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1932373046875 × 2 - 1) × π
    0.613525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92744685992322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18446119} λ = -0.18446119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92744685992322))-π/2
    2×atan(6.87194279249608)-π/2
    2×1.42629137952352-π/2
    2.85258275904704-1.57079632675     		φ = 1.28178643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18446119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.568848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28178643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.440953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7711 KachelY 3166 -0.18446119 1.28178643 -10.568848 73.440953
    Oben rechts KachelX + 1 7712 KachelY 3166 -0.18407769 1.28178643 -10.546875 73.440953
    Unten links KachelX 7711 KachelY + 1 3167 -0.18446119 1.28167711 -10.568848 73.434689
    Unten rechts KachelX + 1 7712 KachelY + 1 3167 -0.18407769 1.28167711 -10.546875 73.434689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28178643-1.28167711) × R
    0.000109319999999968 × 6371000     		dl = 696.477719999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28178643-1.28167711) × R
    0.000109319999999968 × 6371000     		dr = 696.477719999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18446119--0.18407769) × cos(1.28178643) × R
    0.000383500000000009 × 0.285003324767338 × 6371000     		do = 696.342495832569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18446119--0.18407769) × cos(1.28167711) × R
    0.000383500000000009 × 0.285108109184152 × 6371000     		du = 696.598513345306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28178643)-sin(1.28167711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285003324767338-0.285108109184152)×R²
    abs(-0.18407769--0.18446119)×0.000104784416813997×R²
    0.000383500000000009×0.000104784416813997×6371000²
    0.000383500000000009×0.000104784416813997×40589641000000     		ar = 485076.18956522m²