Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7710 / 1574
↖ ↑ ↗
← N 73.553302°
E158.818359°		 ← 1 383.48 m → N 73.553302°
E158.862304°		 →
↑
1 383.97 m
↓
↑
1 383.97 m
↓
N 73.540855°
E158.818359°		 ← 1 384.50 m →
1 915 402 m²		 N 73.540855°
E158.862304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94122314453125 y=0.19219970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94122314453125 × 213)
    floor (0.94122314453125 × 8192)
    floor (7710.5)     		tx = 7710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19219970703125 × 213)
    floor (0.19219970703125 × 8192)
    floor (1574.5)     		ty = 1574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7710 / 1574 ti = "13/7710/1574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7710/1574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7710 ÷ 213
    7710 ÷ 8192     		x = 0.941162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1574 ÷ 213
    1574 ÷ 8192     		y = 0.192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941162109375 × 2 - 1) × π
    0.88232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.77190328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192138671875 × 2 - 1) × π
    0.61572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93434977346851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77190328} λ = 2.77190328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93434977346851))-π/2
    2×atan(6.91954332163505)-π/2
    2×1.42727180839777-π/2
    2.85454361679555-1.57079632675     		φ = 1.28374729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77190328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.818359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28374729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.553302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7710 KachelY 1574 2.77190328 1.28374729 158.818359 73.553302
    Oben rechts KachelX + 1 7711 KachelY 1574 2.77267027 1.28374729 158.862304 73.553302
    Unten links KachelX 7710 KachelY + 1 1575 2.77190328 1.28353006 158.818359 73.540855
    Unten rechts KachelX + 1 7711 KachelY + 1 1575 2.77267027 1.28353006 158.862304 73.540855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28374729-1.28353006) × R
    0.000217230000000068 × 6371000     		dl = 1383.97233000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28374729-1.28353006) × R
    0.000217230000000068 × 6371000     		dr = 1383.97233000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77190328-2.77267027) × cos(1.28374729) × R
    0.000766989999999801 × 0.283123241729395 × 6371000     		do = 1383.47982095338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77190328-2.77267027) × cos(1.28353006) × R
    0.000766989999999801 × 0.283331576764258 × 6371000     		du = 1384.4978487033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28374729)-sin(1.28353006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283123241729395-0.283331576764258)×R²
    abs(2.77267027-2.77190328)×0.00020833503486295×R²
    0.000766989999999801×0.00020833503486295×6371000²
    0.000766989999999801×0.00020833503486295×40589641000000     		ar = 1915402.25996421m²