Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7709 / 5117
↖ ↑ ↗
← N 55.813629°
W 10.612793°		 ← 1 372.85 m → N 55.813629°
W 10.590820°		 →
↑
1 373.01 m
↓
↑
1 373.01 m
↓
N 55.801281°
W 10.612793°		 ← 1 373.28 m →
1 885 235 m²		 N 55.801281°
W 10.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470550537109375 y=0.312347412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470550537109375 × 214)
    floor (0.470550537109375 × 16384)
    floor (7709.5)     		tx = 7709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312347412109375 × 214)
    floor (0.312347412109375 × 16384)
    floor (5117.5)     		ty = 5117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7709 / 5117 ti = "14/7709/5117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7709/5117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7709 ÷ 214
    7709 ÷ 16384     		x = 0.47052001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5117 ÷ 214
    5117 ÷ 16384     		y = 0.31231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47052001953125 × 2 - 1) × π
    -0.0589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18522818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31231689453125 × 2 - 1) × π
    0.3753662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17924773065338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18522818} λ = -0.18522818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17924773065338))-π/2
    2×atan(3.25192695754365)-π/2
    2×1.27246396077761-π/2
    2.54492792155522-1.57079632675     		φ = 0.97413159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18522818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.612793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97413159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.813629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7709 KachelY 5117 -0.18522818 0.97413159 -10.612793 55.813629
    Oben rechts KachelX + 1 7710 KachelY 5117 -0.18484468 0.97413159 -10.590820 55.813629
    Unten links KachelX 7709 KachelY + 1 5118 -0.18522818 0.97391608 -10.612793 55.801281
    Unten rechts KachelX + 1 7710 KachelY + 1 5118 -0.18484468 0.97391608 -10.590820 55.801281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97413159-0.97391608) × R
    0.000215510000000085 × 6371000     		dl = 1373.01421000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97413159-0.97391608) × R
    0.000215510000000085 × 6371000     		dr = 1373.01421000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18522818--0.18484468) × cos(0.97413159) × R
    0.000383499999999981 × 0.561886626457219 × 6371000     		do = 1372.84551386039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18522818--0.18484468) × cos(0.97391608) × R
    0.000383499999999981 × 0.562064886351038 × 6371000     		du = 1373.28105242637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97413159)-sin(0.97391608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561886626457219-0.562064886351038)×R²
    abs(-0.18484468--0.18522818)×0.000178259893818811×R²
    0.000383499999999981×0.000178259893818811×6371000²
    0.000383499999999981×0.000178259893818811×40589641000000     		ar = 1885235.40628253m²