Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7709 / 5111
↖ ↑ ↗
← N 55.887635°
W 10.612793°		 ← 1 370.23 m → N 55.887635°
W 10.590820°		 →
↑
1 370.47 m
↓
↑
1 370.47 m
↓
N 55.875311°
W 10.612793°		 ← 1 370.67 m →
1 878 157 m²		 N 55.875311°
W 10.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470550537109375 y=0.311981201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470550537109375 × 214)
    floor (0.470550537109375 × 16384)
    floor (7709.5)     		tx = 7709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311981201171875 × 214)
    floor (0.311981201171875 × 16384)
    floor (5111.5)     		ty = 5111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7709 / 5111 ti = "14/7709/5111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7709/5111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7709 ÷ 214
    7709 ÷ 16384     		x = 0.47052001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5111 ÷ 214
    5111 ÷ 16384     		y = 0.31195068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47052001953125 × 2 - 1) × π
    -0.0589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18522818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31195068359375 × 2 - 1) × π
    0.3760986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18154870183514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18522818} λ = -0.18522818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18154870183514))-π/2
    2×atan(3.2594181629769)-π/2
    2×1.27310978823296-π/2
    2.54621957646591-1.57079632675     		φ = 0.97542325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18522818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.612793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97542325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.887635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7709 KachelY 5111 -0.18522818 0.97542325 -10.612793 55.887635
    Oben rechts KachelX + 1 7710 KachelY 5111 -0.18484468 0.97542325 -10.590820 55.887635
    Unten links KachelX 7709 KachelY + 1 5112 -0.18522818 0.97520814 -10.612793 55.875311
    Unten rechts KachelX + 1 7710 KachelY + 1 5112 -0.18484468 0.97520814 -10.590820 55.875311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97542325-0.97520814) × R
    0.000215109999999963 × 6371000     		dl = 1370.46580999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97542325-0.97520814) × R
    0.000215109999999963 × 6371000     		dr = 1370.46580999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18522818--0.18484468) × cos(0.97542325) × R
    0.000383499999999981 × 0.560817678471655 × 6371000     		do = 1370.23377622964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18522818--0.18484468) × cos(0.97520814) × R
    0.000383499999999981 × 0.560995763524048 × 6371000     		du = 1370.66888760932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97542325)-sin(0.97520814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560817678471655-0.560995763524048)×R²
    abs(-0.18484468--0.18522818)×0.000178085052393584×R²
    0.000383499999999981×0.000178085052393584×6371000²
    0.000383499999999981×0.000178085052393584×40589641000000     		ar = 1878156.70190501m²