Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7709 / 10590
↖ ↑ ↗
← N 76.395896°
W137.653199°		 ← 143.68 m → N 76.395896°
W137.647705°		 →
↑
143.67 m
↓
↑
143.67 m
↓
N 76.394604°
W137.653199°		 ← 143.69 m →
20 643 m²		 N 76.394604°
W137.647705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.117637634277344 y=0.161598205566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.117637634277344 × 216)
    floor (0.117637634277344 × 65536)
    floor (7709.5)     		tx = 7709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161598205566406 × 216)
    floor (0.161598205566406 × 65536)
    floor (10590.5)     		ty = 10590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7709 / 10590 ti = "16/7709/10590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7709/10590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7709 ÷ 216
    7709 ÷ 65536     		x = 0.117630004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10590 ÷ 216
    10590 ÷ 65536     		y = 0.161590576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.117630004882812 × 2 - 1) × π
    -0.764739990234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.40250154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161590576171875 × 2 - 1) × π
    0.67681884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.12628911954721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40250154} λ = -2.40250154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12628911954721))-π/2
    2×atan(8.3836981140993)-π/2
    2×1.45207812364009-π/2
    2.90415624728019-1.57079632675     		φ = 1.33335992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40250154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.653199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33335992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.395896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7709 KachelY 10590 -2.40250154 1.33335992 -137.653199 76.395896
    Oben rechts KachelX + 1 7710 KachelY 10590 -2.40240566 1.33335992 -137.647705 76.395896
    Unten links KachelX 7709 KachelY + 1 10591 -2.40250154 1.33333737 -137.653199 76.394604
    Unten rechts KachelX + 1 7710 KachelY + 1 10591 -2.40240566 1.33333737 -137.647705 76.394604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33335992-1.33333737) × R
    2.25499999999546e-05 × 6371000     		dl = 143.66604999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33335992-1.33333737) × R
    2.25499999999546e-05 × 6371000     		dr = 143.66604999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40250154--2.40240566) × cos(1.33335992) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.235211732630849 × 6371000     		do = 143.679434990824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40250154--2.40240566) × cos(1.33333737) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.235233649911744 × 6371000     		du = 143.692823194297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33335992)-sin(1.33333737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235211732630849-0.235233649911744)×R²
    abs(-2.40240566--2.40250154)×2.19172808950674e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.19172808950674e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.19172808950674e-05×40589641000000     		ar = 20642.8186075517m²