Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77088 / 61600
↖ ↑ ↗
← N 10.746969°
E 31.728515°		 ← 300.07 m → N 10.746969°
E 31.731262°		 →
↑
300.07 m
↓
↑
300.07 m
↓
N 10.744271°
E 31.728515°		 ← 300.07 m →
90 043 m²		 N 10.744271°
E 31.731262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588138580322266 y=0.469974517822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588138580322266 × 217)
    floor (0.588138580322266 × 131072)
    floor (77088.5)     		tx = 77088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469974517822266 × 217)
    floor (0.469974517822266 × 131072)
    floor (61600.5)     		ty = 61600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77088 / 61600 ti = "17/77088/61600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77088/61600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77088 ÷ 217
    77088 ÷ 131072     		x = 0.588134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61600 ÷ 217
    61600 ÷ 131072     		y = 0.469970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.588134765625 × 2 - 1) × π
    0.17626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.55376706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469970703125 × 2 - 1) × π
    0.06005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.188679636904541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55376706} λ = 0.55376706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.188679636904541))-π/2
    2×atan(1.20765400272944)-π/2
    2×0.879183163003768-π/2
    1.75836632600754-1.57079632675     		φ = 0.18757000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55376706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.728515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18757000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.746969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77088 KachelY 61600 0.55376706 0.18757000 31.728515 10.746969
    Oben rechts KachelX + 1 77089 KachelY 61600 0.55381500 0.18757000 31.731262 10.746969
    Unten links KachelX 77088 KachelY + 1 61601 0.55376706 0.18752290 31.728515 10.744271
    Unten rechts KachelX + 1 77089 KachelY + 1 61601 0.55381500 0.18752290 31.731262 10.744271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18757000-0.18752290) × R
    4.70999999999944e-05 × 6371000     		dl = 300.074099999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18757000-0.18752290) × R
    4.70999999999944e-05 × 6371000     		dr = 300.074099999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55376706-0.55381500) × cos(0.18757000) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.982460262463433 × 6371000     		do = 300.068652683291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55376706-0.55381500) × cos(0.18752290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.98246904420815 × 6371000     		du = 300.07133485417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18757000)-sin(0.18752290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982460262463433-0.98246904420815)×R²
    abs(0.55381500-0.55376706)×8.78174471741211e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.78174471741211e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.78174471741211e-06×40589641000000     		ar = 90043.23333377m²