Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7707 / 6665
↖ ↑ ↗
← N 72.365777°
W 95.328369°		 ← 370.08 m → N 72.365777°
W 95.317383°		 →
↑
370.16 m
↓
↑
370.16 m
↓
N 72.362448°
W 95.328369°		 ← 370.15 m →
137 000 m²		 N 72.362448°
W 95.317383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.235214233398438 y=0.203414916992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.235214233398438 × 215)
    floor (0.235214233398438 × 32768)
    floor (7707.5)     		tx = 7707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203414916992188 × 215)
    floor (0.203414916992188 × 32768)
    floor (6665.5)     		ty = 6665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7707 / 6665 ti = "15/7707/6665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7707/6665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7707 ÷ 215
    7707 ÷ 32768     		x = 0.235198974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6665 ÷ 215
    6665 ÷ 32768     		y = 0.203399658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.235198974609375 × 2 - 1) × π
    -0.52960205078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.66379391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203399658203125 × 2 - 1) × π
    0.59320068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8635949096293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66379391} λ = -1.66379391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8635949096293))-π/2
    2×atan(6.44687108256935)-π/2
    2×1.41690869729777-π/2
    2.83381739459555-1.57079632675     		φ = 1.26302107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66379391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.328369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26302107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.365777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7707 KachelY 6665 -1.66379391 1.26302107 -95.328369 72.365777
    Oben rechts KachelX + 1 7708 KachelY 6665 -1.66360216 1.26302107 -95.317383 72.365777
    Unten links KachelX 7707 KachelY + 1 6666 -1.66379391 1.26296297 -95.328369 72.362448
    Unten rechts KachelX + 1 7708 KachelY + 1 6666 -1.66360216 1.26296297 -95.317383 72.362448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26302107-1.26296297) × R
    5.80999999999499e-05 × 6371000     		dl = 370.155099999681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26302107-1.26296297) × R
    5.80999999999499e-05 × 6371000     		dr = 370.155099999681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66379391--1.66360216) × cos(1.26302107) × R
    0.000191750000000157 × 0.302939185611737 × 6371000     		do = 370.082399506636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66379391--1.66360216) × cos(1.26296297) × R
    0.000191750000000157 × 0.302994554974994 × 6371000     		du = 370.150040894038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26302107)-sin(1.26296297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302939185611737-0.302994554974994)×R²
    abs(-1.66360216--1.66379391)×5.53693632567298e-05×R²
    0.000191750000000157×5.53693632567298e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.53693632567298e-05×40589641000000     		ar = 137000.406538543m²