Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77067 / 58847
↖ ↑ ↗
← N 18.064923°
E 31.670837°		 ← 290.37 m → N 18.064923°
E 31.673584°		 →
↑
290.33 m
↓
↑
290.33 m
↓
N 18.062312°
E 31.670837°		 ← 290.37 m →
84 303 m²		 N 18.062312°
E 31.673584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587978363037109 y=0.448970794677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587978363037109 × 217)
    floor (0.587978363037109 × 131072)
    floor (77067.5)     		tx = 77067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448970794677734 × 217)
    floor (0.448970794677734 × 131072)
    floor (58847.5)     		ty = 58847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77067 / 58847 ti = "17/77067/58847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77067/58847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77067 ÷ 217
    77067 ÷ 131072     		x = 0.587974548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58847 ÷ 217
    58847 ÷ 131072     		y = 0.448966979980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587974548339844 × 2 - 1) × π
    0.175949096679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.55276039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448966979980469 × 2 - 1) × π
    0.102066040039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.320649921558556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55276039} λ = 0.55276039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.320649921558556))-π/2
    2×atan(1.37802308026993)-π/2
    2×0.943044360624406-π/2
    1.88608872124881-1.57079632675     		φ = 0.31529239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55276039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.670837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31529239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.064923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77067 KachelY 58847 0.55276039 0.31529239 31.670837 18.064923
    Oben rechts KachelX + 1 77068 KachelY 58847 0.55280833 0.31529239 31.673584 18.064923
    Unten links KachelX 77067 KachelY + 1 58848 0.55276039 0.31524682 31.670837 18.062312
    Unten rechts KachelX + 1 77068 KachelY + 1 58848 0.55280833 0.31524682 31.673584 18.062312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31529239-0.31524682) × R
    4.55699999999948e-05 × 6371000     		dl = 290.326469999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31529239-0.31524682) × R
    4.55699999999948e-05 × 6371000     		dr = 290.326469999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55276039-0.55280833) × cos(0.31529239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950705751034622 × 6371000     		do = 290.370007531815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55276039-0.55280833) × cos(0.31524682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95071988105209 × 6371000     		du = 290.374323202856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31529239)-sin(0.31524682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950705751034622-0.95071988105209)×R²
    abs(0.55280833-0.55276039)×1.41300174684167e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41300174684167e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41300174684167e-05×40589641000000     		ar = 84302.7257719224m²