Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7706 / 4258
↖ ↑ ↗
← N 65.053602°
W 10.678711°		 ← 1 030.50 m → N 65.053602°
W 10.656738°		 →
↑
1 030.64 m
↓
↑
1 030.64 m
↓
N 65.044333°
W 10.678711°		 ← 1 030.86 m →
1 062 258 m²		 N 65.044333°
W 10.656738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470367431640625 y=0.259918212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470367431640625 × 214)
    floor (0.470367431640625 × 16384)
    floor (7706.5)     		tx = 7706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259918212890625 × 214)
    floor (0.259918212890625 × 16384)
    floor (4258.5)     		ty = 4258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7706 / 4258 ti = "14/7706/4258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7706/4258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7706 ÷ 214
    7706 ÷ 16384     		x = 0.4703369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4258 ÷ 214
    4258 ÷ 16384     		y = 0.2598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4703369140625 × 2 - 1) × π
    -0.059326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18637867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2598876953125 × 2 - 1) × π
    0.480224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50867010484241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18637867} λ = -0.18637867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50867010484241))-π/2
    2×atan(4.52071471821308)-π/2
    2×1.35309793341331-π/2
    2.70619586682662-1.57079632675     		φ = 1.13539954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18637867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.678711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13539954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.053602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7706 KachelY 4258 -0.18637867 1.13539954 -10.678711 65.053602
    Oben rechts KachelX + 1 7707 KachelY 4258 -0.18599517 1.13539954 -10.656738 65.053602
    Unten links KachelX 7706 KachelY + 1 4259 -0.18637867 1.13523777 -10.678711 65.044333
    Unten rechts KachelX + 1 7707 KachelY + 1 4259 -0.18599517 1.13523777 -10.656738 65.044333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13539954-1.13523777) × R
    0.000161770000000061 × 6371000     		dl = 1030.63667000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13539954-1.13523777) × R
    0.000161770000000061 × 6371000     		dr = 1030.63667000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18637867--0.18599517) × cos(1.13539954) × R
    0.000383500000000009 × 0.421770202241302 × 6371000     		do = 1030.50206707685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18637867--0.18599517) × cos(1.13523777) × R
    0.000383500000000009 × 0.421916874027517 × 6371000     		du = 1030.86042709867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13539954)-sin(1.13523777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421770202241302-0.421916874027517)×R²
    abs(-0.18599517--0.18637867)×0.00014667178621558×R²
    0.000383500000000009×0.00014667178621558×6371000²
    0.000383500000000009×0.00014667178621558×40589641000000     		ar = 1062257.89064691m²