Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7706 / 1576
↖ ↑ ↗
← N 73.528399°
E158.642578°		 ← 1 385.52 m → N 73.528399°
E158.686523°		 →
↑
1 386.01 m
↓
↑
1 386.01 m
↓
N 73.515935°
E158.642578°		 ← 1 386.54 m →
1 921 048 m²		 N 73.515935°
E158.686523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94073486328125 y=0.19244384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94073486328125 × 213)
    floor (0.94073486328125 × 8192)
    floor (7706.5)     		tx = 7706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19244384765625 × 213)
    floor (0.19244384765625 × 8192)
    floor (1576.5)     		ty = 1576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7706 / 1576 ti = "13/7706/1576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7706/1576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7706 ÷ 213
    7706 ÷ 8192     		x = 0.940673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1576 ÷ 213
    1576 ÷ 8192     		y = 0.1923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940673828125 × 2 - 1) × π
    0.88134765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.76883532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1923828125 × 2 - 1) × π
    0.615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93281579268066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76883532} λ = 2.76883532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93281579268066))-π/2
    2×atan(6.90893701213633)-π/2
    2×1.42705449578023-π/2
    2.85410899156047-1.57079632675     		φ = 1.28331266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76883532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.642578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28331266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.528399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7706 KachelY 1576 2.76883532 1.28331266 158.642578 73.528399
    Oben rechts KachelX + 1 7707 KachelY 1576 2.76960231 1.28331266 158.686523 73.528399
    Unten links KachelX 7706 KachelY + 1 1577 2.76883532 1.28309511 158.642578 73.515935
    Unten rechts KachelX + 1 7707 KachelY + 1 1577 2.76960231 1.28309511 158.686523 73.515935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28331266-1.28309511) × R
    0.0002175499999999 × 6371000     		dl = 1386.01104999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28331266-1.28309511) × R
    0.0002175499999999 × 6371000     		dr = 1386.01104999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76883532-2.76960231) × cos(1.28331266) × R
    0.000766989999999801 × 0.283540061452293 × 6371000     		do = 1385.51660773246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76883532-2.76960231) × cos(1.28309511) × R
    0.000766989999999801 × 0.283748676574249 × 6371000     		du = 1386.53600412609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28331266)-sin(1.28309511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283540061452293-0.283748676574249)×R²
    abs(2.76960231-2.76883532)×0.000208615121955913×R²
    0.000766989999999801×0.000208615121955913×6371000²
    0.000766989999999801×0.000208615121955913×40589641000000     		ar = 1921047.78318213m²