Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77056 / 58625
↖ ↑ ↗
← N 18.643643°
E 31.640625°		 ← 289.40 m → N 18.643643°
E 31.643372°		 →
↑
289.37 m
↓
↑
289.37 m
↓
N 18.641040°
E 31.640625°		 ← 289.40 m →
83 744 m²		 N 18.641040°
E 31.643372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587894439697266 y=0.447277069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587894439697266 × 217)
    floor (0.587894439697266 × 131072)
    floor (77056.5)     		tx = 77056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447277069091797 × 217)
    floor (0.447277069091797 × 131072)
    floor (58625.5)     		ty = 58625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77056 / 58625 ti = "17/77056/58625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77056/58625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77056 ÷ 217
    77056 ÷ 131072     		x = 0.587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58625 ÷ 217
    58625 ÷ 131072     		y = 0.447273254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587890625 × 2 - 1) × π
    0.17578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.55223308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447273254394531 × 2 - 1) × π
    0.105453491210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.331291913274208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55223308} λ = 0.55223308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.331291913274208))-π/2
    2×atan(1.39276629994364)-π/2
    2×0.948094638294042-π/2
    1.89618927658808-1.57079632675     		φ = 0.32539295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55223308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32539295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.643643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77056 KachelY 58625 0.55223308 0.32539295 31.640625 18.643643
    Oben rechts KachelX + 1 77057 KachelY 58625 0.55228102 0.32539295 31.643372 18.643643
    Unten links KachelX 77056 KachelY + 1 58626 0.55223308 0.32534753 31.640625 18.641040
    Unten rechts KachelX + 1 77057 KachelY + 1 58626 0.55228102 0.32534753 31.643372 18.641040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32539295-0.32534753) × R
    4.54200000000182e-05 × 6371000     		dl = 289.370820000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32539295-0.32534753) × R
    4.54200000000182e-05 × 6371000     		dr = 289.370820000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55223308-0.55228102) × cos(0.32539295) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94752518086741 × 6371000     		do = 289.398579534873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55223308-0.55228102) × cos(0.32534753) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.947539699807447 × 6371000     		du = 289.403013992878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32539295)-sin(0.32534753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94752518086741-0.947539699807447)×R²
    abs(0.55228102-0.55223308)×1.45189400376777e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45189400376777e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45189400376777e-05×40589641000000     		ar = 83744.1458826366m²