Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7705 / 6667
↖ ↑ ↗
← N 72.359119°
W 95.350342°		 ← 370.22 m → N 72.359119°
W 95.339355°		 →
↑
370.22 m
↓
↑
370.22 m
↓
N 72.355790°
W 95.350342°		 ← 370.29 m →
137 074 m²		 N 72.355790°
W 95.339355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.235153198242188 y=0.203475952148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.235153198242188 × 215)
    floor (0.235153198242188 × 32768)
    floor (7705.5)     		tx = 7705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203475952148438 × 215)
    floor (0.203475952148438 × 32768)
    floor (6667.5)     		ty = 6667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7705 / 6667 ti = "15/7705/6667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7705/6667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7705 ÷ 215
    7705 ÷ 32768     		x = 0.235137939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6667 ÷ 215
    6667 ÷ 32768     		y = 0.203460693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.235137939453125 × 2 - 1) × π
    -0.52972412109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.66417741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203460693359375 × 2 - 1) × π
    0.59307861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.86321141443234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66417741} λ = -1.66417741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86321141443234))-π/2
    2×atan(6.44439921247921)-π/2
    2×1.41685059882006-π/2
    2.83370119764012-1.57079632675     		φ = 1.26290487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66417741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.350342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26290487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.359119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7705 KachelY 6667 -1.66417741 1.26290487 -95.350342 72.359119
    Oben rechts KachelX + 1 7706 KachelY 6667 -1.66398566 1.26290487 -95.339355 72.359119
    Unten links KachelX 7705 KachelY + 1 6668 -1.66417741 1.26284676 -95.350342 72.355790
    Unten rechts KachelX + 1 7706 KachelY + 1 6668 -1.66398566 1.26284676 -95.339355 72.355790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26290487-1.26284676) × R
    5.81100000001111e-05 × 6371000     		dl = 370.218810000708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26290487-1.26284676) × R
    5.81100000001111e-05 × 6371000     		dr = 370.218810000708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66417741--1.66398566) × cos(1.26290487) × R
    0.000191749999999935 × 0.303049923315459 × 6371000     		do = 370.217681031529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66417741--1.66398566) × cos(1.26284676) × R
    0.000191749999999935 × 0.303105300162517 × 6371000     		du = 370.285331561436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26290487)-sin(1.26284676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303049923315459-0.303105300162517)×R²
    abs(-1.66398566--1.66417741)×5.53768470578087e-05×R²
    0.000191749999999935×5.53768470578087e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.53768470578087e-05×40589641000000     		ar = 137074.072100571m²