Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7705 / 5086
↖ ↑ ↗
← N 56.194481°
W 10.700684°		 ← 1 359.35 m → N 56.194481°
W 10.678711°		 →
↑
1 359.57 m
↓
↑
1 359.57 m
↓
N 56.182254°
W 10.700684°		 ← 1 359.78 m →
1 848 421 m²		 N 56.182254°
W 10.678711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470306396484375 y=0.310455322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470306396484375 × 214)
    floor (0.470306396484375 × 16384)
    floor (7705.5)     		tx = 7705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310455322265625 × 214)
    floor (0.310455322265625 × 16384)
    floor (5086.5)     		ty = 5086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7705 / 5086 ti = "14/7705/5086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7705/5086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7705 ÷ 214
    7705 ÷ 16384     		x = 0.47027587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5086 ÷ 214
    5086 ÷ 16384     		y = 0.3104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47027587890625 × 2 - 1) × π
    -0.0594482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18676216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3104248046875 × 2 - 1) × π
    0.379150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19113608175916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18676216} λ = -0.18676216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19113608175916))-π/2
    2×atan(3.29081772247512)-π/2
    2×1.27578751976665-π/2
    2.5515750395333-1.57079632675     		φ = 0.98077871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18676216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.700684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98077871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.194481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7705 KachelY 5086 -0.18676216 0.98077871 -10.700684 56.194481
    Oben rechts KachelX + 1 7706 KachelY 5086 -0.18637867 0.98077871 -10.678711 56.194481
    Unten links KachelX 7705 KachelY + 1 5087 -0.18676216 0.98056531 -10.700684 56.182254
    Unten rechts KachelX + 1 7706 KachelY + 1 5087 -0.18637867 0.98056531 -10.678711 56.182254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98077871-0.98056531) × R
    0.00021340000000003 × 6371000     		dl = 1359.57140000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98077871-0.98056531) × R
    0.00021340000000003 × 6371000     		dr = 1359.57140000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18676216--0.18637867) × cos(0.98077871) × R
    0.000383490000000014 × 0.556375661337964 × 6371000     		do = 1359.345244577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18676216--0.18637867) × cos(0.98056531) × R
    0.000383490000000014 × 0.556552969317363 × 6371000     		du = 1359.77844605465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98077871)-sin(0.98056531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556375661337964-0.556552969317363)×R²
    abs(-0.18637867--0.18676216)×0.0001773079793983×R²
    0.000383490000000014×0.0001773079793983×6371000²
    0.000383490000000014×0.0001773079793983×40589641000000     		ar = 1848421.40843818m²