Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7705 / 4213
↖ ↑ ↗
← N 65.467386°
W 10.700684°		 ← 1 014.45 m → N 65.467386°
W 10.678711°		 →
↑
1 014.65 m
↓
↑
1 014.65 m
↓
N 65.458261°
W 10.700684°		 ← 1 014.80 m →
1 029 487 m²		 N 65.458261°
W 10.678711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470306396484375 y=0.257171630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470306396484375 × 214)
    floor (0.470306396484375 × 16384)
    floor (7705.5)     		tx = 7705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257171630859375 × 214)
    floor (0.257171630859375 × 16384)
    floor (4213.5)     		ty = 4213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7705 / 4213 ti = "14/7705/4213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7705/4213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7705 ÷ 214
    7705 ÷ 16384     		x = 0.47027587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4213 ÷ 214
    4213 ÷ 16384     		y = 0.25714111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47027587890625 × 2 - 1) × π
    -0.0594482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18676216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25714111328125 × 2 - 1) × π
    0.4857177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52592738870563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18676216} λ = -0.18676216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52592738870563))-π/2
    2×atan(4.59940703019077)-π/2
    2×1.35670888137158-π/2
    2.71341776274316-1.57079632675     		φ = 1.14262144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18676216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.700684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14262144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.467386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7705 KachelY 4213 -0.18676216 1.14262144 -10.700684 65.467386
    Oben rechts KachelX + 1 7706 KachelY 4213 -0.18637867 1.14262144 -10.678711 65.467386
    Unten links KachelX 7705 KachelY + 1 4214 -0.18676216 1.14246218 -10.700684 65.458261
    Unten rechts KachelX + 1 7706 KachelY + 1 4214 -0.18637867 1.14246218 -10.678711 65.458261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14262144-1.14246218) × R
    0.000159259999999994 × 6371000     		dl = 1014.64545999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14262144-1.14246218) × R
    0.000159259999999994 × 6371000     		dr = 1014.64545999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18676216--0.18637867) × cos(1.14262144) × R
    0.000383490000000014 × 0.415211143651412 × 6371000     		do = 1014.45000714198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18676216--0.18637867) × cos(1.14246218) × R
    0.000383490000000014 × 0.415356021200072 × 6371000     		du = 1014.80397411161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14262144)-sin(1.14246218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415211143651412-0.415356021200072)×R²
    abs(-0.18637867--0.18676216)×0.00014487754866066×R²
    0.000383490000000014×0.00014487754866066×6371000²
    0.000383490000000014×0.00014487754866066×40589641000000     		ar = 1029486.67180841m²