Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7705 / 10594
↖ ↑ ↗
← N 76.390727°
W137.675171°		 ← 143.72 m → N 76.390727°
W137.669678°		 →
↑
143.73 m
↓
↑
143.73 m
↓
N 76.389434°
W137.675171°		 ← 143.73 m →
20 658 m²		 N 76.389434°
W137.669678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.117576599121094 y=0.161659240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.117576599121094 × 216)
    floor (0.117576599121094 × 65536)
    floor (7705.5)     		tx = 7705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161659240722656 × 216)
    floor (0.161659240722656 × 65536)
    floor (10594.5)     		ty = 10594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7705 / 10594 ti = "16/7705/10594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7705/10594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7705 ÷ 216
    7705 ÷ 65536     		x = 0.117568969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10594 ÷ 216
    10594 ÷ 65536     		y = 0.161651611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.117568969726562 × 2 - 1) × π
    -0.764862060546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.40288503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161651611328125 × 2 - 1) × π
    0.67669677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12590562435025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40288503} λ = -2.40288503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12590562435025))-π/2
    2×atan(8.38048362255021)-π/2
    2×1.4520330139489-π/2
    2.9040660278978-1.57079632675     		φ = 1.33326970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40288503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.675171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33326970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.390727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7705 KachelY 10594 -2.40288503 1.33326970 -137.675171 76.390727
    Oben rechts KachelX + 1 7706 KachelY 10594 -2.40278916 1.33326970 -137.669678 76.390727
    Unten links KachelX 7705 KachelY + 1 10595 -2.40288503 1.33324714 -137.675171 76.389434
    Unten rechts KachelX + 1 7706 KachelY + 1 10595 -2.40278916 1.33324714 -137.669678 76.389434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33326970-1.33324714) × R
    2.25599999998938e-05 × 6371000     		dl = 143.729759999323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33326970-1.33324714) × R
    2.25599999998938e-05 × 6371000     		dr = 143.729759999323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40288503--2.40278916) × cos(1.33326970) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.235299420475142 × 6371000     		do = 143.718008314301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40288503--2.40278916) × cos(1.33324714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.235321346996573 × 6371000     		du = 143.73140076543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33326970)-sin(1.33324714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235299420475142-0.235321346996573)×R²
    abs(-2.40278916--2.40288503)×2.19265214306263e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.19265214306263e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.19265214306263e-05×40589641000000     		ar = 20657.5172901492m²