Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77046 / 59016
↖ ↑ ↗
← N 17.623082°
E 31.613159°		 ← 291.09 m → N 17.623082°
E 31.615906°		 →
↑
291.09 m
↓
↑
291.09 m
↓
N 17.620464°
E 31.613159°		 ← 291.10 m →
84 735 m²		 N 17.620464°
E 31.615906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587818145751953 y=0.450260162353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587818145751953 × 217)
    floor (0.587818145751953 × 131072)
    floor (77046.5)     		tx = 77046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450260162353516 × 217)
    floor (0.450260162353516 × 131072)
    floor (59016.5)     		ty = 59016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77046 / 59016 ti = "17/77046/59016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77046/59016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77046 ÷ 217
    77046 ÷ 131072     		x = 0.587814331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59016 ÷ 217
    59016 ÷ 131072     		y = 0.45025634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587814331054688 × 2 - 1) × π
    0.175628662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.55175371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45025634765625 × 2 - 1) × π
    0.0994873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.312548585522766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55175371} λ = 0.55175371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.312548585522766))-π/2
    2×atan(1.36690435132298)-π/2
    2×0.939188564196516-π/2
    1.87837712839303-1.57079632675     		φ = 0.30758080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55175371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.613159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30758080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.623082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77046 KachelY 59016 0.55175371 0.30758080 31.613159 17.623082
    Oben rechts KachelX + 1 77047 KachelY 59016 0.55180165 0.30758080 31.615906 17.623082
    Unten links KachelX 77046 KachelY + 1 59017 0.55175371 0.30753511 31.613159 17.620464
    Unten rechts KachelX + 1 77047 KachelY + 1 59017 0.55180165 0.30753511 31.615906 17.620464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30758080-0.30753511) × R
    4.56899999999871e-05 × 6371000     		dl = 291.090989999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30758080-0.30753511) × R
    4.56899999999871e-05 × 6371000     		dr = 291.090989999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55175371-0.55180165) × cos(0.30758080) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.953068780240751 × 6371000     		do = 291.091737476412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55175371-0.55180165) × cos(0.30753511) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.953082612069837 × 6371000     		du = 291.095962073046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30758080)-sin(0.30753511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953068780240751-0.953082612069837)×R²
    abs(0.55180165-0.55175371)×1.38318290858752e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.38318290858752e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.38318290858752e-05×40589641000000     		ar = 84734.7969285143m²