Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77043 / 58827
↖ ↑ ↗
← N 18.117140°
E 31.604919°		 ← 290.28 m → N 18.117140°
E 31.607666°		 →
↑
290.26 m
↓
↑
290.26 m
↓
N 18.114529°
E 31.604919°		 ← 290.29 m →
84 259 m²		 N 18.114529°
E 31.607666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587795257568359 y=0.448818206787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587795257568359 × 217)
    floor (0.587795257568359 × 131072)
    floor (77043.5)     		tx = 77043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448818206787109 × 217)
    floor (0.448818206787109 × 131072)
    floor (58827.5)     		ty = 58827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77043 / 58827 ti = "17/77043/58827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77043/58827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77043 ÷ 217
    77043 ÷ 131072     		x = 0.587791442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58827 ÷ 217
    58827 ÷ 131072     		y = 0.448814392089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587791442871094 × 2 - 1) × π
    0.175582885742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.55160990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448814392089844 × 2 - 1) × π
    0.102371215820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.321608659550957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55160990} λ = 0.55160990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.321608659550957))-π/2
    2×atan(1.37934487687846)-π/2
    2×0.9435000316835-π/2
    1.887000063367-1.57079632675     		φ = 0.31620374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55160990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.604919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31620374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.117140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77043 KachelY 58827 0.55160990 0.31620374 31.604919 18.117140
    Oben rechts KachelX + 1 77044 KachelY 58827 0.55165784 0.31620374 31.607666 18.117140
    Unten links KachelX 77043 KachelY + 1 58828 0.55160990 0.31615818 31.604919 18.114529
    Unten rechts KachelX + 1 77044 KachelY + 1 58828 0.55165784 0.31615818 31.607666 18.114529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31620374-0.31615818) × R
    4.556e-05 × 6371000     		dl = 290.26276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31620374-0.31615818) × R
    4.556e-05 × 6371000     		dr = 290.26276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55160990-0.55165784) × cos(0.31620374) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950422751677908 × 6371000     		do = 290.283572243871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55160990-0.55165784) × cos(0.31615818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950436918063641 × 6371000     		du = 290.287899022717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31620374)-sin(0.31615818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950422751677908-0.950436918063641)×R²
    abs(0.55165784-0.55160990)×1.41663857325947e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41663857325947e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41663857325947e-05×40589641000000     		ar = 84259.1388281088m²