Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77042 / 58826
↖ ↑ ↗
← N 18.119750°
E 31.602173°		 ← 290.22 m → N 18.119750°
E 31.604919°		 →
↑
290.26 m
↓
↑
290.26 m
↓
N 18.117140°
E 31.602173°		 ← 290.22 m →
84 240 m²		 N 18.117140°
E 31.604919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587787628173828 y=0.448810577392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587787628173828 × 217)
    floor (0.587787628173828 × 131072)
    floor (77042.5)     		tx = 77042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448810577392578 × 217)
    floor (0.448810577392578 × 131072)
    floor (58826.5)     		ty = 58826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77042 / 58826 ti = "17/77042/58826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77042/58826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77042 ÷ 217
    77042 ÷ 131072     		x = 0.587783813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58826 ÷ 217
    58826 ÷ 131072     		y = 0.448806762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587783813476562 × 2 - 1) × π
    0.175567626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.55156197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448806762695312 × 2 - 1) × π
    0.102386474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.321656596450577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55156197} λ = 0.55156197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.321656596450577))-π/2
    2×atan(1.37941099998022)-π/2
    2×0.943522811673754-π/2
    1.88704562334751-1.57079632675     		φ = 0.31624930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55156197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.602173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31624930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.119750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77042 KachelY 58826 0.55156197 0.31624930 31.602173 18.119750
    Oben rechts KachelX + 1 77043 KachelY 58826 0.55160990 0.31624930 31.604919 18.119750
    Unten links KachelX 77042 KachelY + 1 58827 0.55156197 0.31620374 31.602173 18.117140
    Unten rechts KachelX + 1 77043 KachelY + 1 58827 0.55160990 0.31620374 31.604919 18.117140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31624930-0.31620374) × R
    4.556e-05 × 6371000     		dl = 290.26276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31624930-0.31620374) × R
    4.556e-05 × 6371000     		dr = 290.26276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55156197-0.55160990) × cos(0.31624930) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.95040858331937 × 6371000     		do = 290.218694332005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55156197-0.55160990) × cos(0.31620374) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.950422751677908 × 6371000     		du = 290.22302081073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31624930)-sin(0.31620374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95040858331937-0.950422751677908)×R²
    abs(0.55160990-0.55156197)×1.41683585378471e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.41683585378471e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.41683585378471e-05×40589641000000     		ar = 84240.3071428179m²