Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77040 / 58818
↖ ↑ ↗
← N 18.140632°
E 31.596680°		 ← 290.24 m → N 18.140632°
E 31.599426°		 →
↑
290.20 m
↓
↑
290.20 m
↓
N 18.138022°
E 31.596680°		 ← 290.25 m →
84 229 m²		 N 18.138022°
E 31.599426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587772369384766 y=0.448749542236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587772369384766 × 217)
    floor (0.587772369384766 × 131072)
    floor (77040.5)     		tx = 77040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448749542236328 × 217)
    floor (0.448749542236328 × 131072)
    floor (58818.5)     		ty = 58818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77040 / 58818 ti = "17/77040/58818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77040/58818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77040 ÷ 217
    77040 ÷ 131072     		x = 0.5877685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58818 ÷ 217
    58818 ÷ 131072     		y = 0.448745727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5877685546875 × 2 - 1) × π
    0.175537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.55146609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448745727539062 × 2 - 1) × π
    0.102508544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.322040091647537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55146609} λ = 0.55146609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.322040091647537))-π/2
    2×atan(1.37994009892031)-π/2
    2×0.943705039366118-π/2
    1.88741007873224-1.57079632675     		φ = 0.31661375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55146609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.596680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31661375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.140632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77040 KachelY 58818 0.55146609 0.31661375 31.596680 18.140632
    Oben rechts KachelX + 1 77041 KachelY 58818 0.55151403 0.31661375 31.599426 18.140632
    Unten links KachelX 77040 KachelY + 1 58819 0.55146609 0.31656820 31.596680 18.138022
    Unten rechts KachelX + 1 77041 KachelY + 1 58819 0.55151403 0.31656820 31.599426 18.138022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31661375-0.31656820) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dl = 290.199050000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31661375-0.31656820) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dr = 290.199050000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55146609-0.55151403) × cos(0.31661375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950295174774114 × 6371000     		do = 290.244606973623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55146609-0.55151403) × cos(0.31656820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950309355799666 × 6371000     		du = 290.248938223846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31661375)-sin(0.31656820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950295174774114-0.950309355799666)×R²
    abs(0.55151403-0.55146609)×1.41810255521735e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41810255521735e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41810255521735e-05×40589641000000     		ar = 84229.3376883437m²