Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77033 / 59560
↖ ↑ ↗
← N 16.193575°
E 31.577453°		 ← 293.31 m → N 16.193575°
E 31.580200°		 →
↑
293.32 m
↓
↑
293.32 m
↓
N 16.190937°
E 31.577453°		 ← 293.31 m →
86 034 m²		 N 16.190937°
E 31.580200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587718963623047 y=0.454410552978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587718963623047 × 217)
    floor (0.587718963623047 × 131072)
    floor (77033.5)     		tx = 77033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454410552978516 × 217)
    floor (0.454410552978516 × 131072)
    floor (59560.5)     		ty = 59560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77033 / 59560 ti = "17/77033/59560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77033/59560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77033 ÷ 217
    77033 ÷ 131072     		x = 0.587715148925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59560 ÷ 217
    59560 ÷ 131072     		y = 0.45440673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587715148925781 × 2 - 1) × π
    0.175430297851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.55113053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45440673828125 × 2 - 1) × π
    0.0911865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.286470912129456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55113053} λ = 0.55113053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.286470912129456))-π/2
    2×atan(1.33171943044842)-π/2
    2×0.92671376259049-π/2
    1.85342752518098-1.57079632675     		φ = 0.28263120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55113053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.577453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28263120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.193575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77033 KachelY 59560 0.55113053 0.28263120 31.577453 16.193575
    Oben rechts KachelX + 1 77034 KachelY 59560 0.55117847 0.28263120 31.580200 16.193575
    Unten links KachelX 77033 KachelY + 1 59561 0.55113053 0.28258516 31.577453 16.190937
    Unten rechts KachelX + 1 77034 KachelY + 1 59561 0.55117847 0.28258516 31.580200 16.190937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28263120-0.28258516) × R
    4.60400000000249e-05 × 6371000     		dl = 293.320840000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28263120-0.28258516) × R
    4.60400000000249e-05 × 6371000     		dr = 293.320840000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55113053-0.55117847) × cos(0.28263120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.960324965373257 × 6371000     		do = 293.307963189409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55113053-0.55117847) × cos(0.28258516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.960337804148029 × 6371000     		du = 293.311884481695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28263120)-sin(0.28258516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.960324965373257-0.960337804148029)×R²
    abs(0.55117847-0.55113053)×1.28387747723169e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.28387747723169e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.28387747723169e-05×40589641000000     		ar = 86033.9132550396m²