Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77032 / 59559
↖ ↑ ↗
← N 16.196212°
E 31.574707°		 ← 293.24 m → N 16.196212°
E 31.577453°		 →
↑
293.26 m
↓
↑
293.26 m
↓
N 16.193575°
E 31.574707°		 ← 293.25 m →
85 996 m²		 N 16.193575°
E 31.577453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587711334228516 y=0.454402923583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587711334228516 × 217)
    floor (0.587711334228516 × 131072)
    floor (77032.5)     		tx = 77032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454402923583984 × 217)
    floor (0.454402923583984 × 131072)
    floor (59559.5)     		ty = 59559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77032 / 59559 ti = "17/77032/59559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77032/59559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77032 ÷ 217
    77032 ÷ 131072     		x = 0.58770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59559 ÷ 217
    59559 ÷ 131072     		y = 0.454399108886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58770751953125 × 2 - 1) × π
    0.1754150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.55108260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454399108886719 × 2 - 1) × π
    0.0912017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.286518849029076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55108260} λ = 0.55108260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.286518849029076))-π/2
    2×atan(1.33178327047922)-π/2
    2×0.926736779937369-π/2
    1.85347355987474-1.57079632675     		φ = 0.28267723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55108260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.574707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28267723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.196212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77032 KachelY 59559 0.55108260 0.28267723 31.574707 16.196212
    Oben rechts KachelX + 1 77033 KachelY 59559 0.55113053 0.28267723 31.577453 16.196212
    Unten links KachelX 77032 KachelY + 1 59560 0.55108260 0.28263120 31.574707 16.193575
    Unten rechts KachelX + 1 77033 KachelY + 1 59560 0.55113053 0.28263120 31.577453 16.193575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28267723-0.28263120) × R
    4.60299999999747e-05 × 6371000     		dl = 293.257129999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28267723-0.28263120) × R
    4.60299999999747e-05 × 6371000     		dr = 293.257129999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55108260-0.55113053) × cos(0.28267723) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.960312127352178 × 6371000     		do = 293.242860642059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55108260-0.55113053) × cos(0.28263120) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.960324965373257 × 6371000     		du = 293.246780886237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28267723)-sin(0.28263120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.960312127352178-0.960324965373257)×R²
    abs(0.55113053-0.55108260)×1.28380210792089e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.28380210792089e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.28380210792089e-05×40589641000000     		ar = 85996.1345397744m²