Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77032 / 58840
↖ ↑ ↗
← N 18.083201°
E 31.574707°		 ← 290.28 m → N 18.083201°
E 31.577453°		 →
↑
290.33 m
↓
↑
290.33 m
↓
N 18.080590°
E 31.574707°		 ← 290.28 m →
84 276 m²		 N 18.080590°
E 31.577453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587711334228516 y=0.448917388916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587711334228516 × 217)
    floor (0.587711334228516 × 131072)
    floor (77032.5)     		tx = 77032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448917388916016 × 217)
    floor (0.448917388916016 × 131072)
    floor (58840.5)     		ty = 58840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77032 / 58840 ti = "17/77032/58840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77032/58840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77032 ÷ 217
    77032 ÷ 131072     		x = 0.58770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58840 ÷ 217
    58840 ÷ 131072     		y = 0.44891357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58770751953125 × 2 - 1) × π
    0.1754150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.55108260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44891357421875 × 2 - 1) × π
    0.1021728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.320985479855896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55108260} λ = 0.55108260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.320985479855896))-π/2
    2×atan(1.37848556493939)-π/2
    2×0.943203860924486-π/2
    1.88640772184897-1.57079632675     		φ = 0.31561140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55108260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.574707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31561140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.083201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77032 KachelY 58840 0.55108260 0.31561140 31.574707 18.083201
    Oben rechts KachelX + 1 77033 KachelY 58840 0.55113053 0.31561140 31.577453 18.083201
    Unten links KachelX 77032 KachelY + 1 58841 0.55108260 0.31556583 31.574707 18.080590
    Unten rechts KachelX + 1 77033 KachelY + 1 58841 0.55113053 0.31556583 31.577453 18.080590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31561140-0.31556583) × R
    4.55699999999948e-05 × 6371000     		dl = 290.326469999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31561140-0.31556583) × R
    4.55699999999948e-05 × 6371000     		dr = 290.326469999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55108260-0.55113053) × cos(0.31561140) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.950606779426773 × 6371000     		do = 290.279215897699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55108260-0.55113053) × cos(0.31556583) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.950620923264306 × 6371000     		du = 290.28353488864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31561140)-sin(0.31556583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950606779426773-0.950620923264306)×R²
    abs(0.55113053-0.55108260)×1.41438375330649e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.41438375330649e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.41438375330649e-05×40589641000000     		ar = 84276.3670391799m²