Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77027 / 57563
↖ ↑ ↗
← N 21.384032°
E 31.560974°		 ← 284.40 m → N 21.384032°
E 31.563721°		 →
↑
284.34 m
↓
↑
284.34 m
↓
N 21.381475°
E 31.560974°		 ← 284.40 m →
80 866 m²		 N 21.381475°
E 31.563721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587673187255859 y=0.439174652099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587673187255859 × 217)
    floor (0.587673187255859 × 131072)
    floor (77027.5)     		tx = 77027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439174652099609 × 217)
    floor (0.439174652099609 × 131072)
    floor (57563.5)     		ty = 57563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77027 / 57563 ti = "17/77027/57563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77027/57563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77027 ÷ 217
    77027 ÷ 131072     		x = 0.587669372558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57563 ÷ 217
    57563 ÷ 131072     		y = 0.439170837402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587669372558594 × 2 - 1) × π
    0.175338745117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.55084291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439170837402344 × 2 - 1) × π
    0.121658325195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.382200900670708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55084291} λ = 0.55084291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382200900670708))-π/2
    2×atan(1.46550647679434)-π/2
    2×0.972009050030508-π/2
    1.94401810006102-1.57079632675     		φ = 0.37322177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55084291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.560974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37322177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.384032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77027 KachelY 57563 0.55084291 0.37322177 31.560974 21.384032
    Oben rechts KachelX + 1 77028 KachelY 57563 0.55089085 0.37322177 31.563721 21.384032
    Unten links KachelX 77027 KachelY + 1 57564 0.55084291 0.37317714 31.560974 21.381475
    Unten rechts KachelX + 1 77028 KachelY + 1 57564 0.55089085 0.37317714 31.563721 21.381475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37322177-0.37317714) × R
    4.462999999999e-05 × 6371000     		dl = 284.337729999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37322177-0.37317714) × R
    4.462999999999e-05 × 6371000     		dr = 284.337729999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55084291-0.55089085) × cos(0.37322177) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.931157467188869 × 6371000     		do = 284.399458473158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55084291-0.55089085) × cos(0.37317714) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.931173739131351 × 6371000     		du = 284.404428343232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37322177)-sin(0.37317714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931157467188869-0.931173739131351)×R²
    abs(0.55089085-0.55084291)×1.62719424821045e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.62719424821045e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.62719424821045e-05×40589641000000     		ar = 80866.2030097415m²