Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7702 / 5078
↖ ↑ ↗
← N 56.292157°
W 10.766602°		 ← 1 355.92 m → N 56.292157°
W 10.744629°		 →
↑
1 356.13 m
↓
↑
1 356.13 m
↓
N 56.279961°
W 10.766602°		 ← 1 356.35 m →
1 839 095 m²		 N 56.279961°
W 10.744629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470123291015625 y=0.309967041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470123291015625 × 214)
    floor (0.470123291015625 × 16384)
    floor (7702.5)     		tx = 7702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309967041015625 × 214)
    floor (0.309967041015625 × 16384)
    floor (5078.5)     		ty = 5078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7702 / 5078 ti = "14/7702/5078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7702/5078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7702 ÷ 214
    7702 ÷ 16384     		x = 0.4700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5078 ÷ 214
    5078 ÷ 16384     		y = 0.3099365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.059814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18791265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3099365234375 × 2 - 1) × π
    0.380126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19420404333484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18791265} λ = -0.18791265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19420404333484))-π/2
    2×atan(3.30092932787748)-π/2
    2×1.27663990198954-π/2
    2.55327980397908-1.57079632675     		φ = 0.98248348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18791265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.766602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98248348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.292157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7702 KachelY 5078 -0.18791265 0.98248348 -10.766602 56.292157
    Oben rechts KachelX + 1 7703 KachelY 5078 -0.18752915 0.98248348 -10.744629 56.292157
    Unten links KachelX 7702 KachelY + 1 5079 -0.18791265 0.98227062 -10.766602 56.279961
    Unten rechts KachelX + 1 7703 KachelY + 1 5079 -0.18752915 0.98227062 -10.744629 56.279961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98248348-0.98227062) × R
    0.000212859999999981 × 6371000     		dl = 1356.13105999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98248348-0.98227062) × R
    0.000212859999999981 × 6371000     		dr = 1356.13105999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18791265--0.18752915) × cos(0.98248348) × R
    0.000383499999999981 × 0.554958307511156 × 6371000     		do = 1355.91770113833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18791265--0.18752915) × cos(0.98227062) × R
    0.000383499999999981 × 0.555135368523039 × 6371000     		du = 1356.35031050185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98248348)-sin(0.98227062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554958307511156-0.555135368523039)×R²
    abs(-0.18752915--0.18791265)×0.000177061011883306×R²
    0.000383499999999981×0.000177061011883306×6371000²
    0.000383499999999981×0.000177061011883306×40589641000000     		ar = 1839095.45375848m²