Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7702 / 1578
↖ ↑ ↗
← N 73.503461°
E158.466797°		 ← 1 387.56 m → N 73.503461°
E158.510742°		 →
↑
1 388.05 m
↓
↑
1 388.05 m
↓
N 73.490978°
E158.466797°		 ← 1 388.58 m →
1 926 705 m²		 N 73.490978°
E158.510742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94024658203125 y=0.19268798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94024658203125 × 213)
    floor (0.94024658203125 × 8192)
    floor (7702.5)     		tx = 7702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19268798828125 × 213)
    floor (0.19268798828125 × 8192)
    floor (1578.5)     		ty = 1578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7702 / 1578 ti = "13/7702/1578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7702/1578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7702 ÷ 213
    7702 ÷ 8192     		x = 0.940185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1578 ÷ 213
    1578 ÷ 8192     		y = 0.192626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940185546875 × 2 - 1) × π
    0.88037109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.76576736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192626953125 × 2 - 1) × π
    0.61474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93128181189282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76576736} λ = 2.76576736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93128181189282))-π/2
    2×atan(6.89834696004016)-π/2
    2×1.42683686325478-π/2
    2.85367372650956-1.57079632675     		φ = 1.28287740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76576736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.466797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28287740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.503461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7702 KachelY 1578 2.76576736 1.28287740 158.466797 73.503461
    Oben rechts KachelX + 1 7703 KachelY 1578 2.76653435 1.28287740 158.510742 73.503461
    Unten links KachelX 7702 KachelY + 1 1579 2.76576736 1.28265953 158.466797 73.490978
    Unten rechts KachelX + 1 7703 KachelY + 1 1579 2.76653435 1.28265953 158.510742 73.490978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28287740-1.28265953) × R
    0.000217869999999953 × 6371000     		dl = 1388.0497699997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28287740-1.28265953) × R
    0.000217869999999953 × 6371000     		dr = 1388.0497699997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76576736-2.76653435) × cos(1.28287740) × R
    0.000766990000000245 × 0.283957431680853 × 6371000     		do = 1387.55608455456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76576736-2.76653435) × cos(1.28265953) × R
    0.000766990000000245 × 0.284166326732547 × 6371000     		du = 1388.57684882298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28287740)-sin(1.28265953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283957431680853-0.284166326732547)×R²
    abs(2.76653435-2.76576736)×0.000208895051693914×R²
    0.000766990000000245×0.000208895051693914×6371000²
    0.000766990000000245×0.000208895051693914×40589641000000     		ar = 1926705.34745483m²