Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7700 / 5085
↖ ↑ ↗
← N 56.206704°
W 10.810547°		 ← 1 358.95 m → N 56.206704°
W 10.788574°		 →
↑
1 359.19 m
↓
↑
1 359.19 m
↓
N 56.194481°
W 10.810547°		 ← 1 359.38 m →
1 847 361 m²		 N 56.194481°
W 10.788574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470001220703125 y=0.310394287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470001220703125 × 214)
    floor (0.470001220703125 × 16384)
    floor (7700.5)     		tx = 7700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310394287109375 × 214)
    floor (0.310394287109375 × 16384)
    floor (5085.5)     		ty = 5085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7700 / 5085 ti = "14/7700/5085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7700/5085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7700 ÷ 214
    7700 ÷ 16384     		x = 0.469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5085 ÷ 214
    5085 ÷ 16384     		y = 0.31036376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469970703125 × 2 - 1) × π
    -0.06005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18867964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31036376953125 × 2 - 1) × π
    0.3792724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19151957695612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18867964} λ = -0.18867964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19151957695612))-π/2
    2×atan(3.29207997728462)-π/2
    2×1.27589418646632-π/2
    2.55178837293264-1.57079632675     		φ = 0.98099205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18867964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98099205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.206704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7700 KachelY 5085 -0.18867964 0.98099205 -10.810547 56.206704
    Oben rechts KachelX + 1 7701 KachelY 5085 -0.18829614 0.98099205 -10.788574 56.206704
    Unten links KachelX 7700 KachelY + 1 5086 -0.18867964 0.98077871 -10.810547 56.194481
    Unten rechts KachelX + 1 7701 KachelY + 1 5086 -0.18829614 0.98077871 -10.788574 56.194481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98099205-0.98077871) × R
    0.000213339999999951 × 6371000     		dl = 1359.18913999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98099205-0.98077871) × R
    0.000213339999999951 × 6371000     		dr = 1359.18913999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18867964--0.18829614) × cos(0.98099205) × R
    0.000383500000000009 × 0.556198377884438 × 6371000     		do = 1358.94753841995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18867964--0.18829614) × cos(0.98077871) × R
    0.000383500000000009 × 0.556375661337964 × 6371000     		du = 1359.38069127036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98099205)-sin(0.98077871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556198377884438-0.556375661337964)×R²
    abs(-0.18829614--0.18867964)×0.000177283453526633×R²
    0.000383500000000009×0.000177283453526633×6371000²
    0.000383500000000009×0.000177283453526633×40589641000000     		ar = 1847361.11138213m²