Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7700 / 4324
↖ ↑ ↗
← N 64.434892°
W 10.810547°		 ← 1 054.36 m → N 64.434892°
W 10.788574°		 →
↑
1 054.53 m
↓
↑
1 054.53 m
↓
N 64.425408°
W 10.810547°		 ← 1 054.73 m →
1 112 048 m²		 N 64.425408°
W 10.788574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470001220703125 y=0.263946533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470001220703125 × 214)
    floor (0.470001220703125 × 16384)
    floor (7700.5)     		tx = 7700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263946533203125 × 214)
    floor (0.263946533203125 × 16384)
    floor (4324.5)     		ty = 4324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7700 / 4324 ti = "14/7700/4324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7700/4324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7700 ÷ 214
    7700 ÷ 16384     		x = 0.469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4324 ÷ 214
    4324 ÷ 16384     		y = 0.263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469970703125 × 2 - 1) × π
    -0.06005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18867964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263916015625 × 2 - 1) × π
    0.47216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48335942184302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18867964} λ = -0.18867964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48335942184302))-π/2
    2×atan(4.40772825514314)-π/2
    2×1.34769867304738-π/2
    2.69539734609475-1.57079632675     		φ = 1.12460102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18867964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12460102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.434892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7700 KachelY 4324 -0.18867964 1.12460102 -10.810547 64.434892
    Oben rechts KachelX + 1 7701 KachelY 4324 -0.18829614 1.12460102 -10.788574 64.434892
    Unten links KachelX 7700 KachelY + 1 4325 -0.18867964 1.12443550 -10.810547 64.425408
    Unten rechts KachelX + 1 7701 KachelY + 1 4325 -0.18829614 1.12443550 -10.788574 64.425408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12460102-1.12443550) × R
    0.000165520000000141 × 6371000     		dl = 1054.5279200009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12460102-1.12443550) × R
    0.000165520000000141 × 6371000     		dr = 1054.5279200009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18867964--0.18829614) × cos(1.12460102) × R
    0.000383500000000009 × 0.431536469195384 × 6371000     		do = 1054.36377715102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18867964--0.18829614) × cos(1.12443550) × R
    0.000383500000000009 × 0.431685778129078 × 6371000     		du = 1054.72858045857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12460102)-sin(1.12443550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431536469195384-0.431685778129078)×R²
    abs(-0.18829614--0.18867964)×0.000149308933694303×R²
    0.000383500000000009×0.000149308933694303×6371000²
    0.000383500000000009×0.000149308933694303×40589641000000     		ar = 1112048.39101836m²