Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 770 / 1266
↖ ↑ ↗
← S 39.095963°
W 44.648437°		 ← 15.169 km → S 39.095963°
W 44.472656°		 →
↑
15.155 km
↓
↑
15.155 km
↓
S 39.232253°
W 44.648437°		 ← 15.140 km →
229.667 km²		 S 39.232253°
W 44.472656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376220703125 y=0.618408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376220703125 × 211)
    floor (0.376220703125 × 2048)
    floor (770.5)     		tx = 770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618408203125 × 211)
    floor (0.618408203125 × 2048)
    floor (1266.5)     		ty = 1266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 770 / 1266 ti = "11/770/1266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/770/1266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 770 ÷ 211
    770 ÷ 2048     		x = 0.3759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1266 ÷ 211
    1266 ÷ 2048     		y = 0.6181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    -0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6181640625 × 2 - 1) × π
    -0.236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.74244670131543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77926224} λ = -0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.74244670131543))-π/2
    2×atan(0.475947987197139)-π/2
    2×0.444221524667583-π/2
    0.888443049335165-1.57079632675     		φ = -0.68235328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68235328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.095963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 770 KachelY 1266 -0.77926224 -0.68235328 -44.648437 -39.095963
    Oben rechts KachelX + 1 771 KachelY 1266 -0.77619428 -0.68235328 -44.472656 -39.095963
    Unten links KachelX 770 KachelY + 1 1267 -0.77926224 -0.68473199 -44.648437 -39.232253
    Unten rechts KachelX + 1 771 KachelY + 1 1267 -0.77619428 -0.68473199 -44.472656 -39.232253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68235328--0.68473199) × R
    0.00237871000000001 × 6371000     		dl = 15154.76141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68235328--0.68473199) × R
    0.00237871000000001 × 6371000     		dr = 15154.76141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77926224--0.77619428) × cos(-0.68235328) × R
    0.00306795999999998 × 0.776090840999745 × 6371000     		do = 15169.4507479028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77926224--0.77619428) × cos(-0.68473199) × R
    0.00306795999999998 × 0.774588581970713 × 6371000     		du = 15140.0876332419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68235328)-sin(-0.68473199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776090840999745-0.774588581970713)×R²
    abs(-0.77619428--0.77926224)×0.001502259029032×R²
    0.00306795999999998×0.001502259029032×6371000²
    0.00306795999999998×0.001502259029032×40589641000000     		ar = 229667019.599759m²