Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76993 / 58812
↖ ↑ ↗
← N 18.156291°
E 31.467590°		 ← 290.22 m → N 18.156291°
E 31.470337°		 →
↑
290.20 m
↓
↑
290.20 m
↓
N 18.153681°
E 31.467590°		 ← 290.22 m →
84 222 m²		 N 18.153681°
E 31.470337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587413787841797 y=0.448703765869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587413787841797 × 217)
    floor (0.587413787841797 × 131072)
    floor (76993.5)     		tx = 76993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448703765869141 × 217)
    floor (0.448703765869141 × 131072)
    floor (58812.5)     		ty = 58812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76993 / 58812 ti = "17/76993/58812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76993/58812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76993 ÷ 217
    76993 ÷ 131072     		x = 0.587409973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58812 ÷ 217
    58812 ÷ 131072     		y = 0.448699951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587409973144531 × 2 - 1) × π
    0.174819946289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.54921306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448699951171875 × 2 - 1) × π
    0.10260009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.322327713045258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54921306} λ = 0.54921306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.322327713045258))-π/2
    2×atan(1.38033705630432)-π/2
    2×0.943841695858581-π/2
    1.88768339171716-1.57079632675     		φ = 0.31688706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54921306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.467590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31688706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.156291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76993 KachelY 58812 0.54921306 0.31688706 31.467590 18.156291
    Oben rechts KachelX + 1 76994 KachelY 58812 0.54926100 0.31688706 31.470337 18.156291
    Unten links KachelX 76993 KachelY + 1 58813 0.54921306 0.31684151 31.467590 18.153681
    Unten rechts KachelX + 1 76994 KachelY + 1 58813 0.54926100 0.31684151 31.470337 18.153681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31688706-0.31684151) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dl = 290.199050000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31688706-0.31684151) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dr = 290.199050000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54921306-0.54926100) × cos(0.31688706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950210044100559 × 6371000     		do = 290.218605874656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54921306-0.54926100) × cos(0.31684151) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950224236956151 × 6371000     		du = 290.222940738078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31688706)-sin(0.31684151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950210044100559-0.950224236956151)×R²
    abs(0.54926100-0.54921306)×1.41928555923432e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41928555923432e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41928555923432e-05×40589641000000     		ar = 84221.7927183736m²