Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7699 / 4321
↖ ↑ ↗
← N 64.463323°
W 10.832519°		 ← 1 053.24 m → N 64.463323°
W 10.810547°		 →
↑
1 053.44 m
↓
↑
1 053.44 m
↓
N 64.453850°
W 10.832519°		 ← 1 053.61 m →
1 109 725 m²		 N 64.453850°
W 10.810547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469940185546875 y=0.263763427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469940185546875 × 214)
    floor (0.469940185546875 × 16384)
    floor (7699.5)     		tx = 7699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263763427734375 × 214)
    floor (0.263763427734375 × 16384)
    floor (4321.5)     		ty = 4321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7699 / 4321 ti = "14/7699/4321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7699/4321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7699 ÷ 214
    7699 ÷ 16384     		x = 0.46990966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4321 ÷ 214
    4321 ÷ 16384     		y = 0.26373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46990966796875 × 2 - 1) × π
    -0.0601806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18906313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26373291015625 × 2 - 1) × π
    0.4725341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.4845099074339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18906313} λ = -0.18906313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4845099074339))-π/2
    2×atan(4.41280220118044)-π/2
    2×1.34794678251022-π/2
    2.69589356502043-1.57079632675     		φ = 1.12509724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18906313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.832519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12509724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.463323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7699 KachelY 4321 -0.18906313 1.12509724 -10.832519 64.463323
    Oben rechts KachelX + 1 7700 KachelY 4321 -0.18867964 1.12509724 -10.810547 64.463323
    Unten links KachelX 7699 KachelY + 1 4322 -0.18906313 1.12493189 -10.832519 64.453850
    Unten rechts KachelX + 1 7700 KachelY + 1 4322 -0.18867964 1.12493189 -10.810547 64.453850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12509724-1.12493189) × R
    0.000165350000000064 × 6371000     		dl = 1053.44485000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12509724-1.12493189) × R
    0.000165350000000064 × 6371000     		dr = 1053.44485000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18906313--0.18867964) × cos(1.12509724) × R
    0.000383489999999986 × 0.431088778259434 × 6371000     		do = 1053.24247884644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18906313--0.18867964) × cos(1.12493189) × R
    0.000383489999999986 × 0.431237969244345 × 6371000     		du = 1053.60698446731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12509724)-sin(1.12493189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431088778259434-0.431237969244345)×R²
    abs(-0.18867964--0.18906313)×0.000149190984910785×R²
    0.000383489999999986×0.000149190984910785×6371000²
    0.000383489999999986×0.000149190984910785×40589641000000     		ar = 1109724.86095494m²