Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7699 / 1563
↖ ↑ ↗
← N 73.689611°
E158.334961°		 ← 1 372.33 m → N 73.689611°
E158.378906°		 →
↑
1 372.82 m
↓
↑
1 372.82 m
↓
N 73.677265°
E158.334961°		 ← 1 373.34 m →
1 884 655 m²		 N 73.677265°
E158.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93988037109375 y=0.19085693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93988037109375 × 213)
    floor (0.93988037109375 × 8192)
    floor (7699.5)     		tx = 7699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19085693359375 × 213)
    floor (0.19085693359375 × 8192)
    floor (1563.5)     		ty = 1563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7699 / 1563 ti = "13/7699/1563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7699/1563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7699 ÷ 213
    7699 ÷ 8192     		x = 0.9398193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1563 ÷ 213
    1563 ÷ 8192     		y = 0.1907958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9398193359375 × 2 - 1) × π
    0.879638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.76346639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1907958984375 × 2 - 1) × π
    0.618408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.94278666780164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76346639} λ = 2.76346639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94278666780164))-π/2
    2×atan(6.97816974217304)-π/2
    2×1.42846132860311-π/2
    2.85692265720621-1.57079632675     		φ = 1.28612633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76346639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.334961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28612633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.689611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7699 KachelY 1563 2.76346639 1.28612633 158.334961 73.689611
    Oben rechts KachelX + 1 7700 KachelY 1563 2.76423338 1.28612633 158.378906 73.689611
    Unten links KachelX 7699 KachelY + 1 1564 2.76346639 1.28591085 158.334961 73.677265
    Unten rechts KachelX + 1 7700 KachelY + 1 1564 2.76423338 1.28591085 158.378906 73.677265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28612633-1.28591085) × R
    0.000215480000000046 × 6371000     		dl = 1372.82308000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28612633-1.28591085) × R
    0.000215480000000046 × 6371000     		dr = 1372.82308000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76346639-2.76423338) × cos(1.28612633) × R
    0.000766989999999801 × 0.28084074457053 × 6371000     		do = 1372.32641390214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76346639-2.76423338) × cos(1.28591085) × R
    0.000766989999999801 × 0.281047545923488 × 6371000     		du = 1373.33694732573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28612633)-sin(1.28591085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28084074457053-0.281047545923488)×R²
    abs(2.76423338-2.76346639)×0.000206801352957975×R²
    0.000766989999999801×0.000206801352957975×6371000²
    0.000766989999999801×0.000206801352957975×40589641000000     		ar = 1884655.02339533m²