Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76985 / 58809
↖ ↑ ↗
← N 18.164121°
E 31.445617°		 ← 290.21 m → N 18.164121°
E 31.448364°		 →
↑
290.20 m
↓
↑
290.20 m
↓
N 18.161511°
E 31.445617°		 ← 290.21 m →
84 218 m²		 N 18.161511°
E 31.448364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587352752685547 y=0.448680877685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587352752685547 × 217)
    floor (0.587352752685547 × 131072)
    floor (76985.5)     		tx = 76985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448680877685547 × 217)
    floor (0.448680877685547 × 131072)
    floor (58809.5)     		ty = 58809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76985 / 58809 ti = "17/76985/58809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76985/58809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76985 ÷ 217
    76985 ÷ 131072     		x = 0.587348937988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58809 ÷ 217
    58809 ÷ 131072     		y = 0.448677062988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587348937988281 × 2 - 1) × π
    0.174697875976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.54882956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448677062988281 × 2 - 1) × π
    0.102645874023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.322471523744118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54882956} λ = 0.54882956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.322471523744118))-π/2
    2×atan(1.38053557781546)-π/2
    2×0.94391001951261-π/2
    1.88782003902522-1.57079632675     		φ = 0.31702371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54882956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.445617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31702371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.164121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76985 KachelY 58809 0.54882956 0.31702371 31.445617 18.164121
    Oben rechts KachelX + 1 76986 KachelY 58809 0.54887750 0.31702371 31.448364 18.164121
    Unten links KachelX 76985 KachelY + 1 58810 0.54882956 0.31697816 31.445617 18.161511
    Unten rechts KachelX + 1 76986 KachelY + 1 58810 0.54887750 0.31697816 31.448364 18.161511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31702371-0.31697816) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dl = 290.199050000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31702371-0.31697816) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dr = 290.199050000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54882956-0.54887750) × cos(0.31702371) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950167453704911 × 6371000     		do = 290.205597671548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54882956-0.54887750) × cos(0.31697816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950181652474909 × 6371000     		du = 290.209934341382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31702371)-sin(0.31697816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950167453704911-0.950181652474909)×R²
    abs(0.54887750-0.54882956)×1.41987699984192e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41987699984192e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41987699984192e-05×40589641000000     		ar = 84218.018012282m²